02. 두 번째 수업: 기수법의 시작과 진법의 탄생

양 10,000마리를 세기 위해 돌멩이 10,000개를 들고 다닐 수는 없습니다. 똑똑한 양치기는 기가 막힌 생각을 해냅니다. “작은 돌멩이 10개가 모이면, 그 10개를 버리고 대신 커다란 호박돌 1개로 바꿔치기하자!” 이것이 오늘날 컴퓨터 메모리 사이즈를 규정하는 진법(Numeral Base System)의 위대한 탄생입니다.

학습 목표

  • 묶음(Grouping)을 통해 기호를 압축하는 진법의 기본 개념을 파악합니다.
  • 인간이 가장 흔하게 채택했던 10진법(Deca), 5진법, 20진법의 생물학적 기원을 확인합니다.
  • 고대 이집트의 상형문자 기수법이 10배씩 커지는 구조였음을 분석합니다.

1. 묶어서 압축하기 (Data Compression)

진법(Base System)의 핵심은 너무 길어진 데이터를 한 단계 위의 가치(Value)를 가진 기호로 교환(Exchange/Carry)하여 압축하는 기술에 있습니다. 현대 지폐와 완벽하게 똑같은 원리입니다.

기호 10개가 모이면 거대한 1개의 상위 기호로 포장 압축 교환되는 진법의 자리 올림 데이터 최적화 SVG 일러스트

1원짜리 동전 10개로 주머니가 무거워지면 $\rightarrow$ 10원짜리 동전 1개로 압축! (무게가 확 줄음) 10원짜리 동전 10개가 모이면 $\rightarrow$ 100원짜리 동전 1개로 압축! 이 교환의 순간이 찾아오는 “바운더리(한계치) 개수”를 얼마로 정하느냐가 바로 몇 ‘진법’이냐를 결정합니다. 10개마다 폭발하여 승급하면 $10$진법, 2개마다 폭발하여 승급하면 $2$진법입니다.

2. 왜 하필 단위가 10진법이었나?

우리가 물건을 살 때 10개 단위로 숫자를 세는 10진법(Decimal) 세계에 사는 이유는 순전히 생물학적 우연 때문입니다. 인류가 진화할 때 달고 태어난 가장 완벽한 휴대용 계산기가 바로 양손의 손가락(Digits) 총 10개 였기 때문입니다. 만약 인류가 양손 손가락이 4개씩 총 8개 달린 미키마우스처럼 진화했다면, 전 세계 우주의 수학 교과서는 8을 꽉 찬 숫자로 여기는 $8$진법(Octal)으로 쓰여 있을 것입니다.

  • 아프리카 일부 부족은 한 손의 손가락만 사용하여 5진법을 씁니다.
  • 마야인들은 맨발로 다니며 양손+양발 발가락까지 모두 세어 20진법을 썼습니다. 불어에서 80을 ‘4개의 20 ($quatre-vingts$)’ 이라고 읽는 것도 고대 갈리아인의 20진법 흔적입니다.

우주의 진리가 10이기 때문이 아닙니다, 단지 인간의 신체 구조에 맞춘 ‘편의성 도구’일 뿐이라는 파격적인 사고를 가져야 프로그래밍 진법론에 눈을 뜰 수 있습니다.

3. 고대 이집트의 10배수 상형문자 기수법

기원전 이집트는 10진법을 채택하여 이미 국가의 노예수와 밀알 수를 계산했습니다. 그들은 10배로 뛰어오를 때마다 아예 새로운 그림(문자)을 창조해 냈습니다.

2D 웹툰 애니 판타지 스타일: 고대 이집트 서기가 어두운 신전 벽에 빛나는 상형문자를 새길 때 공중에서 100만을 뜻하는 사람 모양의 상형문자가 거대하고 밝은 3D 황금빛 마법처럼 떠오르는 장면
  • $1$: 막대기 $1$개 |
  • $10$: 발굽 모양 ∩ (막대기가 10개 모이면 이 그림으로 교환!)
  • $100$: 밧줄이 배배 꼬인 모양 e
  • $1,000$: 연꽃 모양
  • $1,000,000$: 너무 숫자가 커서 놀라 두 팔을 위로 든 사람의 모양 (진짜입니다!)

숫자 $234$를 적으려면, 밧줄 그림 2개(100x2), 발굽 그림 3개(10x3), 막대기 4개(1x4)를 벽화에 쭈르륵 열중쉬어시켜 늘어놓았습니다. 놀라운 수학적 진보였지만, 이 이집트 상형문자 기수법 역시 치명적인 약점이 있었습니다. $9,999$ 같은 큰 숫자를 적으려면 구천에 해당하는 그림 9개, 구백 9개… 무려 그림문자 $36$개를 땀을 꼬박 흘려가며 벽에 파야만 했습니다!

새로운 단계가 나올 때마다 새로운 그림 문자를 발명해 내야 하는 이 피곤한 ‘문자 낭비’ 방식을 깨부수고, 단 ‘10개의 부호’만으로 우주의 모든 큰 수를 다 적을 수 있게 만든 천재적인 시스템이 바로 다음 시간에 배울 아라비아 숫자의 비밀입니다.

학습 정리

  1. 진법(Base System): 일정한 개수의 무리가 뭉치면 이전 찌꺼기 단위들을 전부 소거하고, 한 단계 윗단의 새로운 묶음 기호 하나로 압축 교환해 버리는 데이터(자리 올림) 포장 기술.
  2. 생물학적 $10$진법: 인류가 $10$진법을 세계 표준으로 삼은 유일한 이유는 우리의 손가락 개수가 $10$개였기 때문이며, 수학적 우주 진리와는 무관한 임의의 규약이다.
  3. 기호가 커질 때마다 밧줄, 연꽃, 사람 모양 등 새로운 기호 기호학을 무한 창조해 내던 고대 기수법은, 문자의 개수가 끝도 없이 많아져야 한다는 치명적 한계(메모리 테이블 초과)를 가지고 있었다.
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