02. 두 번째 수업: 약수와 완전수 (Divisors & Perfect Numbers)

나누어떨어지는 수(Divisors, 약수)를 사랑했던 고대 피타고라스 학파 사람들은 숫자들 사이에도 인간처럼 우정, 사랑, 완벽함 같은 성격이 깃들어 있다고 믿었습니다. 아주 사소한 나눗셈에 불과하지만, 약수를 다 더해 보았더니 소름 끼치는 규칙들이 발견되었기 때문입니다.

학습 목표

  • 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 약수(Divisor)의 개념을 이해합니다.
  • 자신을 제외한 진짜 약수(진약수)들의 합이 자신과 똑같아지는 ‘완전수(Perfect Number)’를 배웁니다.
  • 서로의 진약수 합이 엇갈려 상대방이 되는 사랑의 숫자, ‘우애수(Amicable Numbers)’를 구경합니다.
  • 파이썬의 나머지 연산자 %를 활용하여 약수 판독기 알고리즘을 작성합니다.

1. 신의 숫자 6: 완전수 (Perfect Number)

가장 단순한 양의 정수 $6$을 생각해 봅시다. $6$을 쪼갤 수 있는 약수들은 $1, 2, 3, 6$ 입니다. 여기서 뻔하게 자기 자신이 되어버리는 $6$을 제외하고 찐 약수(진약수)들만 더해보세요.

$1 + 2 + 3 = \mathbf{6}$

자신의 몸통을 구성하는 부품(약수) 조각들을 합쳤더니, 기적처럼 원래 자신의 온전한 모습($6$)이 되어 돌아왔습니다. 고대 수학자들은 이렇게 약수의 합이 자기 자신과 똑같아지는 숫자를 신이 창조한 ‘완전수(Perfect Number)’라고 부르며 경배했습니다. 그다음 발견된 완전수는 $28$ ($1+2+4+7+14=28$), 그다음은 $496$, 그리고 $8,128$입니다. 끝없이 커다란 우주에서 완전수는 사막의 바늘처럼 드물게 발견됩니다.

2. 아름다운 우애수 (Amicable Numbers)

이번에는 두 개의 숫자, $220$과 $284$의 찐 약수들을 파헤쳐봅시다.

  • $220$의 찐 약수 합: $1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = \mathbf{284}$
  • $284$의 찐 약수 합: $1+2+4+71+142 = \mathbf{220}$

자신의 살점(약수)을 다 떼어 주었더니 상대방 숫자인 $284$가 만들어졌고, $284$도 살점을 다 내어주자 $220$이 되었습니다. 서로가 서로의 몸을 구성하는 완벽한 영혼의 짝궁, 수학자들은 이들을 ‘우애수’ 혹은 ‘친화수’라고 불렀습니다.

중세 마법사의 로맨틱한 연구실에서 220과 284가 각자의 빛나는 약수 에너지를 서로 교환하며 완벽한 하트 모양의 코드를 만들어내는 일본 애니메이션 판타지풍 웹툰

3. Python 찌꺼기 추적기: 모듈러(%) 연산

종이에 숫자를 쓰고 나눗셈을 하던 시대는 끝났습니다. 현대 컴퓨터 공학에서 어떤 수가 약수인지 아닌지를 단박에 찾아내는 무기는 나머지(%) 연산자입니다. 컴퓨터는 무식하게 나누지 않습니다. 찌꺼기(나머지)가 $0$인지 아닌지만 감식합니다.

나머지가 $0$이라면? 그것은 완벽히 나누어떨어지는 ‘약수’라는 증거입니다!

# 파이썬으로 경험하는 '우주의 찌꺼기 판독기' (Modulo Operator)

def get_real_divisors(number):
    """자신을 제외한 진짜 약수(진약수)들만 걸러내는 AI 필터망"""
    divisors = []
    
    # 1부터 자기자신 바로 앞(number - 1)까지 탈곡기에 돌립니다.
    for i in range(1, number):
        if number % i == 0:  # 컴퓨터의 핵심 필터 [%]: 찌꺼기(나머지)가 0인가?
            divisors.append(i)  # 약수가 맞다면 리스트(배열) 안으로 쓸어담습니다!
            
    return divisors

# 수학자들이 10년을 찾았던 3번째 완전수 [496]을 테스트해 봅시다.
target = 496
pieces = get_real_divisors(target)

print(f"[{target}] 을 구성하는 생명 조각들(진약수): {pieces}")

# 조각들을 다 합치면?
total_power = sum(pieces)
print(f"조각들을 다시 조립한 파워: {total_power}")

if total_power == target:
    print("축하합니다! 이 숫자는 영혼까지 '완전수(Perfect Number)'입니다.")
else:
    print("불완전한 숫자입니다. 폐기합니다.")

여러분의 CPU 메모리는 고대 그리스 수학자들이 밤을 새워가며 찾았던 4번째 우주 완전수 $8,128$도 단 $0.001초$ 만에 찾아내어 판독합니다. 수의 신비감은 컴퓨터의 강력한 % (모듈러) 루프 안에서 가장 논리적인 데이터로 거듭납니다.

학습 정리

  1. 약수(Divisor): 어떤 수를 나머지($0$) 없이 딱 떨어지게 나눌 수 있는 부품 숫자 배열.
  2. 완전수와 우애수: 자기를 뺀 찐 약수(진약수)의 합이 자기 자신 본체와 똑같아지면 완전수, 다른 짝꿍 숫자를 가리키면 우애수이다.
  3. 데이터 파싱이나 분류 알고리즘에서 파이썬 나머지 % 연산(Modulo) 은 홀수/짝수 판별부터 거대 소수 판독, 해시(Hash) 암호 생성까지 가장 극단적이고 치명적인 역할을 해낸다.
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