02. 두 번째 수업: 가장 중요한 공통분모 찾기, 공통인수 (Common Factor)
당신이 수학 해커로 취직해서 길고 지저분한 다항식 코드를 해체하라는 첫 번째 임무를 받았습니다. 어디서부터 건드려야 할까요? 복잡한 2차, 3차 수식 공식을 들이댈까요? 아닙니다. 세상 모든 해킹의 첫걸음은 가장 만만하고 눈에 뻔히 보이는 ‘중복 데이터 찌꺼기 솎아내기’ 입니다. 이것이 바로 인수분해의 치트키 0순위, 공통인수(Common Factor) 뽑아내기입니다.
1. 셜록 홈스의 눈: 똑같은 놈 묶어 내기
여러 명의 깡패(항) 들이 $+$ 기호 파이프를 잡고 서 있습니다. \(ma + mb - mc\)
이 수식을 천천히 스캐닝해 봅시다. 첫 번째 항은 $m$ 과 $a$ 를 가지고 있고, 두 번째 항은 $m$ 과 $b$, 세 번째 항은 $m$ 과 $c$ 를 품고 있습니다. 셜록 홈스처럼 관찰해 보세요. 3명의 깡패 주머니에 공통적으로 똑같이 들어있는 물건이 하나 보이지 않습니까? 네, 바로 알파벳 $\mathbf{m}$ 입니다!
이 중복되어 퍼져 나오는 놈(공통 인수 $m$) 을 무자비하게 핀셋으로 싹 다 잡아 뽑아서 수식 맨 앞 괄호 밖으로 강제로 압수(추출) 해 버립니다! 그러면 깡패들 주머니에는 $m$ 이 통째로 빨려 나갔으니 빈 껍데기가 되고 남은 잡동사니만 괄호 안에 나뒹굴게 되죠.
$ma + mb - mc \quad \rightarrow \quad \mathbf{m}(a + b - c)$
끝났습니다! 덧셈 뺄셈으로 지저분하게 늘어져 있던 뱀파이어 덩어리가, $m$ 이라는 깨끗하고 단단한 ‘하나의 인수 블록’ 과 $(a+b-c)$ 라는 ‘커다란 괄호 블록’ 단 두 개의 덩어리의 순수한 곱셈$(\times)$ 포장박스 구조로 예쁘게 리팩토링 되었습니다.
2. 분배법칙 (Distributive Law) 의 역재생
사실 방금 우리가 핀셋으로 $m$ 을 뽑아 괄호 밖으로 내동댕이친 과정은, 중학교 1학년 때 열심히 괄호 안에 폭탄을 던지며 수식을 전개시켰던 ‘분배법칙 코딩’ 을 유튜브 역재생(Rewind) 스킬로 거꾸로 감은 것과 완전히 똑같습니다.
- 정방향 전개 (폭탄 터뜨리기): $m(a + b) \rightarrow ma + mb$
- 역방향 인수분해 (폭탄 주워 담기): $\mathbf{ma + mb \rightarrow m(a + b)}$
눈에 보이는 공통인수를 뽑아 앞 주머니에 묶어버리는 이 역재생 스킬이야말로, 앞으로 등장할 난해하고 어지러운 2차, 3차 괴물 방정식들을 썰어버리기 전에 ‘먼저 발동해 두고 시작해야 하는 기본 방어막 버프 마법’ 입니다. 아무리 무서운 수식이라도 공통인수($2$ 라던가, $x$ 라던가)를 하나 뽑아버리고 나면 괄호 안쪽의 맷집 난이도가 반토막으로 줄어들기 때문입니다.
3. 공통인수는 숫자도 되고 알파벳도 된다
꼭 알파벳 문자 $m$ 같은 놈들만 공통 인수가 아닙니다.
코드 수식: \(4x^2 + 6xy\) 이 두 괴물 사이의 가장 큰 공통 물건을 핀셋으로 스캔해 봅시다.
- 숫자 스캔: 앞에는 $4$, 뒤에는 $6$. 어? 둘 다 $2$의 배수 (즉, 뱃속에 숫자 곱하기 $\mathbf{2}$가 공통으로 소화 안 되고 남아있음). $\rightarrow$ 숫자 $2$ 압수!
- 알파벳 스캔: 앞에는 구슬이 2개($x \times x$), 뒤에는 $x \times y$. 어? 둘 다 $\mathbf{x}$ 는 공통으로 최소 1개씩은 똑같이 뒷주머니에 차고 있네? $\rightarrow$ 알파벳 $x$ 압수!
합쳐서, $\mathbf{2x}$ 라는 거대한 공통인수 덩어리를 통째로 뽑아내서 맨 앞 괄호 밖으로 패대기쳐 버립니다.
최종 압축 결과: $2x (2x + 3y)$
자, 가장 쉬운 기본 기술이 끝났습니다. 다음에는 이런 친절한 공통인수마저 아예 보이지 않는 찐득찐득한 거대 다항식을 해체하는 천재들의 패턴 찍기, ‘완전제곱식 패턴 해킹’의 오의를 전수해 드리겠습니다.