04. 네 번째 수업: 원의 둘레와 넓이, 원시적인 쪼개기 (Circumference & Area)
자전거 바퀴 한 바퀴가 구를 때 몇 미터나 땅을 밟을까요? 피자 라지 사이즈의 표면적 치즈 넓이는 얼마나 될까요? 이 해답을 구하는 과정은 모두 방금 배운 영원한 변수 스티커, $\pi$ (파이) 의 마법에 반경 $r$ 을 곱하기만 하면 끝납니다. 하지만 우린 이 외운 공식이 도대체 뱃속에서 어떻게 욱여넣어졌는지 코드로 해부할 의무가 있습니다.
1. 껍데기 둘레 함수: $\mathbf{C = 2\pi r}$
이건 증명할 필요도 없습니다. 3강 방금 전의 원주율의 기본 정의(Definition) 스크립트 자체가 바로 이 공식 뼈대였습니다.
“원주율($\pi$) 은 = 통짜 테두리 둘레 길이($C$) $\div$ 지름 두배길이($2r$)”
그래서 $\pi = \frac{C}{2r}$ 이란 분수식의 분모에 있던 짐덩어리 $2r$ (지름) 을 양변 복제 곱하기 버프로 스왑해서 옆으로 반듯하게 펴주면?
$\mathbf{C = 2 \pi r}$ (원주 둘레 공식)
정말 어처구니없게 초등학교 때부터 달달 외웠던 원의 둘레 공식 스냅샷이 완성됩니다. “자전거 바퀴 테두리는 항상 제자리 배꼽 지름 반지름 선($r$) 에 숫자 $2$배와 원주율($\pi$) 을 곱한 값만큼이다!”
2. 치즈 넓이 함수: $\mathbf{Area = \pi r^2}$
자, 이 넓이 덩어리 공식을 증명하는 기발한 발상법은 고대 이집트 해커들의 특기였습니다. 피자 한 판의 진짜 둥근 면적 넓이(치즈 양) 를 어떻게 네모난 $XY$ 넓이 직사각형 렌더링과 합치시켰을까요?
[극한 리미트 해킹의 시초: 피자 채썰기]
- 피자를 $16$조각으로 얇게 썰어냅니다.
- 이 조각들을 $8$개는 위를 보게, $8$개는 뒤집어서 아래쪽을 뾰족하게 끼워 맞물립니다. 이로 꽉 물듯이 상하로 다닥다닥 지퍼처럼 일렬합체 조립을 시킵니다.
- 오! 이빨처럼 물린 조각들이 모여 전체적으로 약간 울퉁불퉁한 하나의 ‘직사각형 판자’ 무리 모양이 되었습니다!
- 그런데 만약 피자를 $16$조각이 아니라 인공지능 CPU를 동원해 머리카락 굵기로 1억 조각, 100조각으로 무한대로 얇게 썰어재껴서 다시 지퍼를 맞춰 끼운다면?
- 울퉁불퉁했던 위아래 테두리가 거의 완벽한 평면 일직선(Smooth plane) 에 가까워지는, 완전히 반듯하고 아름다운 하나의 직사각형 칠판 렌더링으로 돌변합니다!
3. 직사각형 해킹의 결론 도출
이 무한히 얇게 쪼개어 만든 투명 직사각형 면적 넓이는: (가로) $\times$ (세로) 의 계산입니다.
- 가로길이: 원래 둥글었던 바깥 피자 빵 껍데기($2\pi r$) 가 절반씩 위아래로 쪼개져 찢어졌으므로, 밑바닥 껍데기 길이는 전체 둘레의 정확히 $1/2$ 반토막인 $\pi r$ 이 떨어집니다.
- 세로길이: 피자의 가장 뾰족한 중심 배꼽부터 크러스트까지의 선형이 옆으로 누워버린 것이므로, 단순하지만 완벽한 원래 세로 길이 $r$ (반지름) 가 떨어집니다.
넓이(Area) 최적화 렌더링 = [가로] $\times$ [세로] = $(\pi r) \times (r)$ = $\mathbf{\pi r^2}$!!
이 얼마나 소름 돋는 원시적이고 철학적인 통찰인가요? 인간의 상상력은 기괴하게 생긴 원의 면적을 무한히 잘게 다져 일찍이 직사각형 폴리곤 평면의 세계로 해킹해 렌더링 시키는 데 성공했습니다. 그리고 이 극한(Limit) 조각 모음 렌더링이 나중에 로켓과 우주선의 운동 면적을 모조리 미적분해 버리는 뉴턴의 미적분학의 출발 소스 코드가 됩니다.
다음 장에서는, 피자 전체 면적이 아닌 “내가 남겨먹은 단 한 입(각도) 짜리 부채꼴 조각” 의 얍삽한 계산비를 따져보는 부채꼴 로직 스크립트를 파헤쳐 보겠습니다.