05. 다섯 번째 수업: 피자 조각의 면적, 부채꼴 공식 (Area of Sector)
피자 전체($360^\circ$)의 치즈 양 넓이 코드가 $\pi r^2$ 이라는 사실은 알았습니다. 그렇다면 친구가 몰래 파먹은 $45^\circ$ 중심각을 가진 세모난 피자 한 조각 (마치 레이더 스캐너 모양인 ‘부채꼴 Sector’) 의 테두리 호의 길이나 면적은 도대체 어떻게 알아낼까요?
답은 이미 2강(중심각과 호의 길이) 에서 제가 강력하게 스포일러 해드렸습니다. “중심각의 꺾이는 리모컨 각도 비율에 무조건 무자비한 $100\%$ 정비례 핑클 렌더링이 떨어진다!”
1. 비율 필터 스크립트 가동 ( $\frac{x}{360}$ )
전체 피자 둥근 한 바퀴의 총각 도는 $360^\circ$ 입니다. 만약 이 중에 뾰족한 내 파먹은 중심각도가 $60^\circ$ 라면, 전체 피자 판에서 내가 파먹은 지분 비율은 어떻게 배분(할당) 받을 수 있을까요?
할당 스크립트는 이렇습니다.
지분율(할당 비율 Ratio) = $\frac{\text{우리가 찍어 바른 중심각 } x}{\text{전체 } 360^\circ}$
예를 들어 $x$ 가 $60^\circ$ 도라면? $60/360$, 즉 비율은 $1/6$ (피자의 육 분의 일 크기!) 로 깔끔하게 코드가 출력 세팅됩니다.
2. 호의 길이와 넓이에 팩터(Factor) 비율 강제 곱하기
자, 이제 할당 지분율 비율 칩($\frac{x}{360}$) 을 만들었으니, 4강에서 신나게 박수 치며 외웠던 기존 전체 피자 한 판의 공식(둘레와 넓이) 엉덩이 뒤에다가 ఈ 퍼센트 압축 지분율 조각 폭탄만 하나 곱하기($\times$) 체인으로 쑤셔 넣어주면, 완벽하고 소름 돋게 내가 원하는 “특정 부채꼴 조각만의 데이터” 값으로 리사이징(Resizing) 폭발을 일으킵니다!
- 내 피자 테두리 껍데기 (호의 길이 $l$):
- 전체 원주 껍데기($2\pi r$) $\times$ 지분율 필터 칩($\frac{x}{360}$)
- $l = \mathbf{2\pi r \times \frac{x}{360}}$
- 내 피자의 순수 치즈 넓이 (부채꼴의 면적 $S$):
- 전체 피자 면적 넓이($\pi r^2$) $\times$ 지분율 필터 칩($\frac{x}{360}$)
- $S = \mathbf{\pi r^2 \times \frac{x}{360}}$
이 두 공식은 결코 처음부터 다시 외워야 하는 복잡한 새로운 함수가 아닙니다! 기본 뼈대(전체 피자 값) 에 단지 “내가 먹은 지분($360$분의 $X$퍼센트 범위)” 만을 곱해 필터링 조작을 거친, 아주 이기적이고 효율적인 프로그래머들의 데이터 파싱(Data Parsing) 절단 기술일 뿐입니다.
3. 부채꼴 면적의 숨겨진 백도어 해킹 키 ($S = \frac{1}{2}rl$)
그런데 실전에 들어가 보면, 적이 중심각 각도 $x$ 값을 아예 가리고(은폐하고) 문제 서버를 띄울 때가 있습니다. “반지름 $r$과 바깥 껍데기 호의 길이 $l$ 만 줄 테니 부채꼴 면적 넓이를 해킹해 내봐라!”
각도가 없는데 어떻게 $360$ 조각 비율을 따집니까? 이럴 땐 당황하지 말고, 위에 썼던 식을 수학적으로 대입 조작하여 쓱 스왑해 볼까요? 호의 길이 식 $l = 2\pi r \times \frac{x}{360}$ 코드에서 살짝 공통부분들을 주물러보면, $\frac{x}{360}$ 라는 족쇄 블록 전체를 $\frac{l}{2\pi r}$ 이란 덩어리로 쏙 빼내서 대입 변환시킬 수 있습니다.
그걸 넓이 공식 $S = \pi r^2 (\frac{l}{2\pi r})$ 블록 안에다 스왑 대입하고, 위아래로 얽힌 $\pi$ 구슬과 $r$ 구슬 하나씩을 산산이 폭파 약분 시켜버리면?
가성비 끝판왕 해킹 키트: $S = \mathbf{\frac{1}{2} r l}$
반지름 $r$ 과 끝단 껍데기 길이 $l$ 만 알면, 멍청하게 보이지도 않는 각도 $x$ 따위를 찾지 않아도 삼각김밥($\frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$) 마냥 $1$초 만에 면적을 때려 맞출 수 있는 궁극의 가성비 백도어 단축키 코드가 떨어집니다.
이제 종이와 펜으로 머리 쓰는 낡은 작도 놀음을 끝낼 시간입니다. 다음 최고 난이도 종장 6강. 원의 $\pi$ 소수점 끝자리를 추적해버리려는 고대 암호 해독가 아르키메데스의 무식한 폴리곤 쪼개기 루틴! 그 무한한 소모전을 컴퓨터 CPU의 for 문 하나로 대신 끝장내버리는 파이썬 시뮬레이팅 루프 엔진을 가동해 보겠습니다.