02. 두 번째 수업: 같은 크기 픽셀끼리의 병합, 덧셈과 뺄셈 (Addition & Subtraction)
RPG 게임에서 플레이어가 인벤토리에 ‘포션 3개, 폭탄 1개’ 짜리 A 슬롯 가방을 들고 있습니다. 마을 상점에서 ‘포션 5개, 폭탄 2개’ 짜리 B 슬롯 보따리를 선물 받았습니다. 그러면 A 가방 행렬과 B 가방 행렬을 $1 \text{대} 1$ 로 덧셈 병합해야 합니다. 어떻게 더할까요?
“우주의 픽셀 규격 덩치가 $100\%$ 똑같은 행렬끼리만 덧셈 뺄셈 융합이 허락된다!”
1. 행렬 병합의 절대 법칙 1: “체급이 맞아야 박치기 융합이 된다!”
$2 \times 2$ 사이즈 네모난 표 2개가 맞붙었습니다.
\[\begin{bmatrix} 1 & \mathbf{3} \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 4 & \mathbf{6} \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} 1+4 & \mathbf{3+6} \\ 5-1 & 2+0 \end{bmatrix} \ = \ \mathbf{\begin{bmatrix} 5 & \mathbf{9} \\ 4 & 2 \end{bmatrix}}\]너무 쉬워서 코웃음이 나옵니다. 그냥 똑같은 위치(픽셀 좌표) 에 사는 원소(이빨) 들끼리 $1$ 대 $1$ 로 대응 매칭해서 그놈들끼리 더하거나 빼주면 끝납니다. 우상단(1행 2열) 에 징거박힌 $\mathbf{3}$ 과 다른 팀 우상단의 $\mathbf{6}$ 이 충돌 폭파하여 새로운 융합체 우상단에 $\mathbf{9}$ 로 스폰됩니다!
2. 규격 깡패의 버그 터널: 던전 튕김 에러
하지만 체급 덩치가 안 맞는 놈들끼리 부딪히면 파이썬 콘솔 창이 미친 듯이 에러를 뿜으며 파업합니다.
- $2 \times 2$ 행렬과 $2 \times 3$ 행렬을 더해라!
“야 이 자식아! 저쪽 팀 오른쪽 끝방 꼬맹이 $\mathbf{9}$ 랑 $\mathbf{8}$ 이랑 싸움 맞붙일 내 쪽 라인 병사가 없잖아! 배틀 스폰 실패!” 서로 빈칸 짝짜꿍이 안 맞아 행렬 공간 차원이 버그 붕괴를 일으킵니다. 곱셈도 아닌, 단순한 덧셈과 뺄셈 병합조차 반드시 “행렬의 사이즈가 $100\%$ 존똑 동형” 일 때만 엔진 구동이 가능합니다.
3. 영행렬의 투명 방패 (덧셈의 항등원)
어떤 행렬 $A$ 에 “영행렬 $O$(모든 칸이 $0$ 인 데드 매트릭스)” 를 덧셈 박치기 파워업 하면 어떻게 될까요?
$A + O = A$ 스탯의 변화가 없습니다. 숫자 0 을 더하는 것과 완전히 동일한 허상의 우주 깡통입니다. 하지만 이 쓸모없어 보이는 영행렬의 존재는, 행렬 연산 매크로가 게임 엔진 안에서 증발 폭파할 때를 대비하는 “캐치 에러 블랙홀” 트리거로 기능합니다.
그렇다면 덧셈 말고, 행렬 배열표 전체를 단 하나의 파워 계수 “곱하기” 숫자로 미친 듯이 불려버리는 거대 사이즈 폭격 “실수배(Scalar)” 로 폭죽을 터뜨려 볼 장으로 진입합시다.