03. 세 번째 수업: 전체 스케일 폭주 버프, 실수배 (Scalar Multiplication)

스칼라(Scalar) 는 앞선 64단원 벡터 시간에 “방향은 없이 무식하게 밀어붙이는 크기 파워 덩어리 에너지 배수” 라고 공부했습니다. 행렬의 덩치 박스 바깥에서 어떤 거대한 스칼라 숫자 $\mathbf{3}$ 이 행렬 안으로 융단폭격을 가하면 어떻게 될까요?

“야! 폭격 문 열렸어! 안쪽에 세 들어 사는 모든 픽셀 이빨 원소 자식들!! 모조리 전부 단 한 놈도 빠짐없이 곱하기 3배 파워업 적용해!!”

1. 분배 법칙의 매크로 난사

어떤 행렬 $A$ 앞 대가리에 실수 $k$ (예: $3$) 라는 스칼라를 곱해 줍니다. 이것을 $k \cdot A$ 혹은 $3A$ 라고 부르며, 수학에선 ‘실수배(Scalar Multiplication)’ 라고 정의합니다.

$A \ = \ \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$

$\mathbf{3A} \ = \ 3 \times \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 0 & 4 \end{bmatrix} \ = \ \begin{bmatrix} 3\times2 & 3\times(-1) \ 3\times0 & 3\times4 \end{bmatrix} \ = \ \mathbf{\begin{bmatrix} 6 & -3 \ 0 & 12 \end{bmatrix}}$

마치 파이터가 버서크 포션을 마시고, 인벤토리에 들어있는 모든 아이템 카테고리 수치가 폭발 수치 $3$ 배 뻥튀기 스탯업! 을 전방위로 퍼먹은 현상입니다! 반대로 스칼라 값으로 $-1$ 마이너스 데미지 디버프를 처먹이면 $(-1 \cdot A \to -A)$ 어떻게 될까요? 당연히 안에 들어있는 모든 숫자 이빨들의 $\pm$ 부호 방향이 단체로 강제 까뒤집힌 역극성(음행렬) 매트릭스가 튀어나옵니다!

2. 코딩 해킹 필터 적용, 픽셀 뽀샵의 원리

이 단순한 실수배($k$ 스칼라 곱) 가 도대체 어디 쓸모 있을까요? 당신이 인스타나 포토샵에 사진을 올려놓고 “밝기(Brightness) $200\%$ 뻥튀기 버튼” 을 꾹 누르는 순간. 스마트폰 CPU 의 NumPy 엔진 텐서 코어 안에서는 이런 일이 터집니다.

1. 당신의 셀카 사진을 구성하는 가로 1000픽셀 $\times$ 세로 1000픽셀의 거대한 $1000 \times 1000$ (100만 평짜리!) 행렬 데이터 배열표(모든 칸에는 색상 명도수치 $0 \sim 255$ 가 들어있음) 가 램 메모리에 로드됩니다!
2. 포토샵 프로그램이 “야! 명도 스칼라 버프 2배 발사!” 스위치를 누릅니다.
3. 곧장 사진 100만 행렬 표 바깥에서 실수 $\mathbf{k=2}$ 대포알이 콰직 꽂히며! 100만 개의 셀 안에 박힌 모든 명암 숫자 값에 $2$ 곱하기가 폭우처럼 내리 쏟아부어져, 한방에 도화지 전체 픽셀 명도가 희멀건 하얀색으로 밝게 렌더링 세탁 폭파 스판을 뜹니다!

단 하나의 포토샵 버튼 터치가, 보이지 않는 $100만 \times 100만$ 의 스칼라 증식 융단폭격 수학 방정식을 돌려버린다는 것. 그럼 4장에서는 드디어 게임 $3D$ 물리 그래픽을 회전시키고 아작을 내버리는 최강의 난이도 우주 파국 수학, ‘행렬끼리의 자승자박 융합 (행렬의 곱셈)’ 지옥 미궁 속으로 떨어져 보겠습니다.