04. 네 번째 수업: 내적(Dot) 충돌 데미지 매트릭스, 행렬의 곱셈 (Matrix Multiplication)
행렬 덧셈과 실수배 뻥튀기까지는 초등학생도 10분이면 깰 수 있는 튜토리얼이었습니다. 하지만 구글 AI 텐서플로우 서버의 전기세 80%를 집어삼키는 메인 코어 엔진, 구글의 면접 첫 관문 해킹 테스트. 그것이 바로 “두 표 배열(행렬) 끼리 곱한다($\mathbf{A \times B}$)” 라는 기괴하고 정신병적인 곱셈 팩토리얼 규칙입니다!
덧셈처럼 “우상단 픽셀이랑 쟤네 편 우상단 픽셀이랑 1:1로 이빨 곱하면 되는 거 아니냐?” 절대 아닙니다!! 인류 수학은 그런 쾌적한 1차원 쓰레기 배합을 행렬 모터에 이식하지 않았습니다.
1. 곱셈의 기괴한 렌더링 규칙: “$\mathbf{L}$ 자로 꼬라박기!”
행렬 $A$ 의 표와 $B$ 의 표를 충돌시켜 곱셈을 먹일 때, 스크립트 충돌 교차 조건은 다음과 같습니다.
“앞놈($A$) 은 무조건 가로줄(행 Row) 몽둥이를 뽑아 들고, 가만있는 뒷놈($B$) 의 세로줄(열 Column) 통나무 위로 돌진해 다리가 부러질 때까지 쾅! 박치기 크래시를 갈긴다!”
이 “가로 몽둥이와 세로 통나무가 나란히 부러지며 각각의 원소끼리 합쳐지는” 충돌을 벡터의 내적(Dot Product) 이라고 합니다.
\[A = \begin{bmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{2} \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \mathbf{5} & 6 \\ \mathbf{7} & 8 \end{bmatrix}\]박치기 1 페이즈: A의 맨 위 1행 vs B의 맨 왼쪽 1열
- A가 가로줄 $[1, 2]$ 창을 뽑습니다.
- B가 세로줄 $\begin{bmatrix} 5 \ 7 \end{bmatrix}$ 기둥 방패를 세웁니다.
- 둘이 “콰직!” 교차 십자가 $L$ 모양으로 충돌! 첫째 놈은 첫째 놈끼리, 둘째 놈은 둘째 놈끼리 곱해서 합쳐 폭발!
- $(1 \times 5) + (2 \times 7) = 5 + 14 = \mathbf{19}$
- $\to$ 이 폭발 데미지 $\mathbf{19}$ 가 새로운 정답 행렬의 (1행, 1열 우좌상단 모서리) 픽셀 방에 수감됩니다!
이런 식으로 앞놈의 가로줄들과 뒷놈의 세로 기둥들을 죄다 “크로스 도트(Dot) 크래시” 융합을 시켜 모든 4칸 픽셀 방의 찌꺼기를 도출합니다.
$A \times B = \begin{bmatrix} (1\times5 + 2\times7) & (1\times6 + 2\times8) \ (3\times5 + 4\times7) & (3\times6 + 4\times8) \end{bmatrix} = \mathbf{\begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix}}$
2. 뼈아픈 교판 법칙의 폭발: $\mathbf{A \times B \ \neq \ B \times A}$
이 무식한 $L$자 박치기 교차 룰 때문에, 인류 수학사상 가장 소름 돋는 충격 에러가 발생합니다. 숫자 곱셈에선 $2 \times 3$ 이나 $3 \times 2$ 나 똑같이 $6$ 이라는 “교환 법칙” 이 성립하지만… “행렬 세계 우주 매트릭스 시스템 안에서는, 대부분의 행렬 오퍼레이터가 순서를 바꾸면 정답표 숫자가 모조리 다르게 출력 붕괴 파괴되어 버립니다! $\mathbf{AB \neq BA}$!!”
왜일까요? 앞놈은 무조건 “가로줄” 로 때리고, 뒷놈은 무조건 “세로 기둥” 으로 맞고 방어하는 스탠스가 결정되어 있기 때문에, 위치를 앞뒤로 바꾸면 “창과 방패 포지션(가로와 세로 충돌 모드) 자체가 통째로 뒤집혀 무기 충돌 타격 뼈대 매트릭스 자체가 아예 에일리언 다이얼로그로 오염돼버리기 때문” 입니다.
3. 이 미친 노가다를 왜 하느냐?
“아니 덧셈처럼 그냥 다이렉트 픽셀 $1 \text{대} 1$ 로 곱하면 코딩 연산 자원도 엄청나게 줄어들 텐데, 왜 이렇게 컴터 부서지게 내적 $L$자 박치기로 매트릭스 곱셈 설계를 기괴하게 꼬아놓으셨나요 폰 노이만 어르신 형님들?” 수학자들은 섬뜩한 웃음을 짓습니다.
“그래야지만, 1행과 1열 전체 좌표 평면 공간 치수 데이터가 융합 스팀 펑크처럼 서로 한 통에 맞물려 합쳐지며 우주를 찌그러트리고 오브젝트를 왜곡시키는 ‘연쇄 마법진 스펠’ 이 단 한 방의 함수 곱셈 연산식으로 격발 터지기 때문이다. 그 악마의 마법, 5장 선형 변환(Linear Transformation) 에서 보여주지.”