수학이야기 70.무한급수 (Infinite Series: 조각난 먼지를 긁어모아 우주를 짓다)

당신이 피자를 반으로 쪼개($1/2$) 먹고, 또 남은 조각의 반을 쪼개($1/4$) 먹고, 그 남은 부스러기의 반을 쪼개($1/8$) 먹는 행위를 영원히, 1만 년 동안 쉴 새 없이 반복한다고 칩시다.

마지막엔 먼지보다 작은 원자, 양자 사이즈의 피자가 남을 테니 당신의 콧김에 날아가 버리겠지만… 고대 그리스 철학자 “제논(Zeno)” 은 여기서 미친 상상을 폭발시켰습니다. “야! 아주 미세한 $0.000000001\text{g}$ 이라도 어쨌든 계속 더해지고 있는 거잖아! 그럼 영원히 더하면 피자의 무게는 우주 무게를 초과해서 빅뱅처럼 무한대($\infty$) 로 터져버리는 거 아냐?!”

이 질문은 무려 $2000$년 동안 인류 지성사 최고의 버그인 “제논의 역설” 로 남아 학자들을 고문했습니다. 하지만 근대 수학자들은 컴퓨터 루프의 본능처럼 아주 차가운 선언을 날립니다. “무한히 작아지는 쓰레기 조각들을 백억 년 동안 끝없이 긁어모아 다 더해봤자, 결국 원래 사이즈 피자 1판($\mathbf{1.0}$) 의 한계치 파라미터를 절대 넘지 못한 채 멈춘다(수렴한다)!”

이번 수학이야기 70. 무한급수(Series) 단원에서는 수열의 숫자들을 영원히 끝끝내 더해 나갈 때, 이것이 우주의 끝으로 폭주해 터져버릴지(발산, Diverge), 아니면 어떤 단단한 유리 천장 숫자에 부딪혀 오차 0으로 딱 얼어붙는지(수렴, Converge) 그 미친 타임 루프의 결말을 디버깅해 봅니다. 마지막엔 파이썬 while 문을 돌려 인류의 뇌로 다다를 수 없는 무한의 덧셈을 컴퓨터 엔진으로 강제 종결시켜 보겠습니다.

수학이야기 70.무한급수 (Infinite Series: 조각난 먼지를 긁어모아 우주를 짓다)

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