02. 두 번째 수업: 타원, 두 개의 못과 실이 그리는 우주 (Ellipse)

우주의 제왕 케플러(Kepler) 에 의해 정원의 궤도가 부정당하고 찌그러진 달걀인 ‘타원(Ellipse)’ 이 우주의 주인공 자리에 등극했습니다. 그렇다면 프로그래머인 우리는 모니터 화면상에 도대체 어떻게 이 기묘하게 양옆으로 퍼진 타원 궤적 곡선을 컴퓨터 그래픽스(CG) 로 오차 없이 렌더링 해낼 수 있을까요?

코딩 이전에 수학 기하학에서 렌더링을 걸었던, 원시적이지만 가장 우아한 “두 개의 못과 실 장난” 정의를 알아야 합니다.

1. 목수가 타원 테이블을 자를 때 쓰는 스킬

당신이 둥글고 납작한 대형 타원 모양의 회의용 원목 테이블을 주문받은 목수라고 생각해 봅시다. 어떻게 합판 위에 자국을 그을 수 있을까요? 원처럼 중심에 못 하나 박아두고 컴퍼스로 휙 돌려버리면 정원밖에 안 나오는데 말입니다.

1. 합판 위에 두 개의 대못(압정) 을 허공에 띄엄띄엄 박습니다. (이것이 타원 우주가 가진 두 개의 빛나는 블랙홀 태양! ‘초점(Foci)’ 입니다.)
2. 이 박혀있는 두 개의 못 사이에 약간 느슨하고 넉넉한 길이의 털실 끈(String) 하나를 연결해 양쪽 끝을 묶습니다.
3. 이제 연필(Pencil Point) 뒷동으로 이 털실을 밖으로 팽팽하게 바깥쪽으로 당겨 건(Tension) 상태로 만듭니다.
4. 연필에 힘을 줘서 이 털실이 팽팽한 $V$ 자 트라이앵글 텐션을 유지한 상태 그대로, 못 가장자리를 합판에 둥글게 빙그르르 돌려가며 선을 긋습니다!

와! 놀랍게도 연필이 슥슥 지나간 합판 위에는 완벽하게 좌우로 길쭉한 럭비공 모양의 ‘타원(Ellipse)’ 우주가 렌더링 되어 그려져 있습니다.

2. 렌더링 스크립트 필터 조건 (합이 일정!)

목수의 연필이 움직이며 남긴 물리적 제약 조건을, 프로그래밍 if 분기 조건문 필터로 해킹해 볼까요?

• $F$ 와 $F’$ 이 박아놓은 두 개의 태양 블랙홀(초점) 좌표 위치입니다.
• $P(x,y)$ 는 마우스 커서인 우주선의 좌표 위치입니다.
• 목수가 묶어둔 털실의 길이는 우주가 멸망해도 ‘늘어나지 않는 끈’ 이었기 때문에 렌더링 내내 길이가 똑같습니다!
• 즉, “왼쪽 태양에서 내 우주선까지의 거리$(d1)$ + 오른쪽 태양에서 내 우주선까지의 거리$(d2)$” 의 ‘거리의 합산 값’ 이 화면 어디서든 무조건 자로 붙여놓은 듯 똑같은 숫자 상숫값 으로 락(Lock) 이 걸려있는 기괴한 공간이라는 뜻입니다!

타원의 궁극적 좌표 정의: 화면 위의 두 정점 $F, F’$ (초점) 으로부터 [거리의 합이 일정한] 점 $P$ 들의 렌더링 집합 궤적!

포물선이 “$1:1$ 지점의 줄다리기” 였다면, 타원은 “양쪽 블랙홀에서 당기는 밧줄 길이의 누적 SUM 수치가 영원히 똑같은 감옥” 이라는 뜻입니다. 다음 장에서는 이 미치도록 아름답고 피곤한 밧줄 길이 누적 SUM 공식을 파이썬 데카르트 대수학 $XY$ 방정식 수식으로 대폭발 번역을 해보겠습니다.