05. 다섯 번째 수업: 원에 내접하는 사각형과 마주 보는 눈동자

4강에서 원주각 위치를 껍데기 위에서 마음대로 옆으로 슬라이드 드래그 복제할 수 있다는 사실을 즐겼습니다. 그렇다면 이번에는 아예 꼭짓점 $4$개를 원 껍데기 모서리에 딱풀로 붙여버린 “거대한 사각형(원 내부의 찰싹 달라붙은 사각형)” 을 상상해 봅시다.

1. 마주 보는 대각선 각도끼리의 충돌

사각형의 꼭짓점 네 개 $A, B, C, D$ 가 모두 원 테두리(껍질, 원주) 위에 소름 돋게 딱 달라붙어 있다면, 놀랍게도 이 못생긴 사각형의 내장 각도 안에서도 파이썬 매크로 수준의 “통제 락(Lock) 스크립트” 가 발동해 버립니다.

내접 사각형 패시브 스킬: “서로 마주 보고 째려보는 두 놈의 마주 편 대각선 각도들을 합치면? 이유 불문 언제나 하늘이 두 쪽 나도 합산 값 $\mathbf{180^\circ}$ 가 배출된다!”

• (각 $A$ 꼭짓점 크기) + (마주 보는 각 $C$ 꼭짓점 크기) = $180^\circ$ (기둥 평직선 각도!)
• (각 $B$ 꼭짓점 크기) + (마주 보는 각 $D$ 꼭짓점 크기) = $180^\circ$

왜 이런 마법 같은 $180^\circ$ 맞교환이 성립되었을까요? 아까의 우주 해킹 툴 “원주각 중심각 $1:2$ 비율” 을 조립해보면 답이 나옵니다.

• $A$ 꼭짓점이 쳐다보고 있는 커다란 둥근 호(Arc) 는 중심각 알파($\alpha$) 의 절반($\alpha/2$) 입니다.
• 반대쪽 $C$ 꼭짓점 눈동자가 뒤를 돌아다보고 있는 나머지 둥근 호 껍데기는 중심각 베타($\beta$) 의 절반($\beta/2$) 입니다.
• 그런데 이 알파와 베타 중심각을 더하면 어쨌든 피자배꼽 전 구간 크기! 원 한 바퀴 전체인 $360^\circ$ 입니다. 마우스로 사각형을 무한히 찌그러뜨리고 크기를 늘렸다 줄였다 해도, 네 꼭짓점이 원 껍데기 전철 레일에 떨어져 나가지 않고 맞물려 살아있는 한, 대각선 맞은편 각도의 합계 $180^\circ$ 질량 치트 락은 절대 풀리지 않습니다.

2. 밖으로 삐져나온 꼬리 (외각) 의 함정

더 무서운 트릭 콤보가 있습니다. 내접 사각형 한쪽 선분을 바깥 허공 쪽으로 쭉 길게 선을 연장해서 꼬리표(외각) 를 그어보았다고 칩시다. (예: 각도 $C$ 의 바깥쪽 궁둥이 꼬리방향 꺾임 외각)

1. 우리는 방금 (마주 보는 대각선인 내부 각 $A$) + (나의 진짜 원본 내부 각 $C$) = $180^\circ$ 인 걸 알았습니다.
2. 그런데 일직선 평직각 논리상, (나의 내부 각 $C$) + (방금 밖으로 내가 쫙 삐져나온 외각 궁둥이 꼬리) = $180^\circ$ (평면각) 입니다.

이 두 스크립트 데이터를 엑셀로 비교 교차 대입(Swap) 시켜 보십시오. “어? 내부 각 $C$ 에 더해서 $180^\circ$ 가 되는 파트너 구슬이라면 매크로 값이 완전 똑같아야 하는 거 아니야?”

궁극의 그림자 복제품: “내접하는 사각형 바깥으로 삐져나간 꼬리 각도(외각) 는? 놀랍게도 그놈이 마주 보고 있던 반대편 내부 스페이스 각도(내대각 $A$) 와 그 크기마저 $\mathbf{100\%}$ 똑같은 복제(Clone) 쌍둥이가 찍혀 버린다!”

이 그림자 복제 기능 하나로, 우주 공학자들은 각도기 없이 반대편 스윙바이 발사 궤도의 외각 굴절도를 역산(Decoding) 해서 뽑아낼 수 있습니다. 이 모든 것들이 컴퍼스와 원이라는 둥근 곡면의 마법 엔진 시스템이 만들어낸 렌더링 치트 덕분입니다. 끝장 파이썬 매크로 응용으로 이 폭탄을 터뜨려보겠습니다.