02. 토끼와 피보나치수열

1. 학습 목표 (Learning Objectives)

• 13세기 수학자 레오나르도 피보나치가 고안한 ‘토끼 번식 모델’을 이해합니다.
• 시간이 지남에 따라 기하급수적으로 늘어나는 토끼의 쌍을 나타내는 점화식 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ 의 원리를 깨우칩니다.

2. 영원히 죽지 않는 토끼의 번식

1202년, 피보나치는 한 수학 경연 단상에서 다음과 같은 사고 실험을 사람들에게 던졌습니다.

[토끼 번식의 가설]

1. 방금 태어난 새끼 토끼 암수 한 쌍이 있습니다.
2. 이 토끼 쌍은 두 달이 지나면 온전한 어른이 되며, 어른이 된 달부터 매달 암수 새끼 한 쌍을 반드시 낳습니다.
3. 토끼는 결코 병들거나 죽지 않고, 새끼들도 커서 똑같은 규칙으로 번식합니다.

질문: 1년 후에는 총 몇 쌍의 토끼가 있을까요?

머릿속으로만 생각하면 금세 헷갈립니다. 달력에 직접 토끼의 상태를 기록해보면 아래와 같은 규칙이 생겨납니다.

1. 1개월째: 달랑 갓 태어난 새끼 1쌍
2. 2개월째: 새끼 토끼가 쑥쑥 자랍니다 (아직 번식 불가, 어른 1쌍)
3. 3개월째: 드디어 첫 새끼를 낳습니다. (기존 어른 1쌍 + 갓 태어난 새끼 1쌍 = 총 2쌍)
4. 4개월째: 기존 어른 1쌍은 또 새끼를 낳고, 저번 달 태어난 새끼는 어른이 됩니다. (총 3쌍)
5. 5개월째: 어른 2쌍이 각각 새끼를 낳고… (총 5쌍)

이 흐름을 눈으로 쉽게 이해하기 위한 다이어그램을 확인하세요.

위의 숫자들(1, 1, 2, 3, 5, 8…)을 유심히 관찰해보면, 이번 달의 전체 토끼 수는 정확히 지난달의 토끼 수에 지지난달의 토끼 수를 더한 값과 완벽하게 일치합니다. 왜 그럴까요? 이번 달 토끼 수 = (지난달에 이미 살고 있던 토끼 수) + (이번 달에 새롭게 태어난 새끼 수) 인데, 이번 달에 새롭게 태어난 새끼의 수는 다름아닌 지지난달에 이미 살고 있던 토끼 수(이들이 모두 어른이 되어 각각 한 쌍씩 낳으므로)와 정확히 같기 때문입니다.

3. 학습 정리 (Summary)

1. 토끼 번식 모델: 피보나치수열은 ‘성장한 토끼가 매달 새끼를 낳는다’는 단순한 생물학적 가설에서 탄생했습니다.
2. 이전 두 달의 합계 (점화식): \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)
3. 이 단순한 더하기 규칙이 우주적 황금비와 컴퓨터 알고리즘의 가장 강력한 근간을 이루게 됩니다.