04. 복잡한 영역의 설계도와 드 모르간의 마법

1. 학습 목표 (Learning Objectives)

골치 아픈 괄호와 여집합($^c$) 떡칠로 구성된 거대 수식을, 직관적인 벤 다이어그램 색칠 공장으로 빠르게 컴파일(해석) 해내는 감각을 기릅니다.
집합 연산의 최고 사령관 격인 수학 스킬, ‘드 모르간의 법칙(De Morgan’s laws)’을 이용하여 복잡한 벤 다이어그램의 차집합/여집합 꼬임을 마술처럼 단순하게 풀어냅니다.

고등학교 모의고사에 출제되는 가장 악명 높은 문제는 원 3개가 복잡하게 얽힌 다가구 주택 같은 다이어그램에서 특정 구역을 수식으로 표기하라는 미션입니다.

미션 구역: “A이거나 B이거나 C인 모든 합집합 연합군 중에서… 셋 다 완벽하게 겹치는 징그러운 한가운데 코어 만 칼로 도려낸 도넛 모양의 링을 수식으로 표현하시오.”

이 복잡한 요구사항을 수식으로 빌드업해 볼까요?

일단 싹 다 긁어모읍니다 (합집합): $\mathbf{A \cup B \cup C}$
도려낼 코어(가운데 3개 교차점) 타겟을 조준합니다: $\mathbf{A \cap B \cap C}$
이제 차집합($-$) 칼날을 이용해 합집합에서 교차점을 베어버립니다!
- 최종 수식: $\mathbf{(A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C)}$

이 아름다운 컷팅 수식을 SVG 그래픽으로 렌더링 하면 다음과 같이 복잡한 색칠 영역 구조가 나타납니다.

다이어그램의 색칠을 더더욱 꼬아버리는 골치 아픈 녀석은 바로 원 밖의 바깥 우주 공간 전체를 의미하는 여집합($^c$, Complement) 입니다.

수학자 드 모르간은, 괄호 밖에서 이 여집합($^c$) 이 폭탄처럼 떨어졌을 때 식 내부가 어떻게 연쇄 폭발하는지 규칙을 찾아냈습니다!

드 모르간의 폭발 규칙: “괄호 밖의 $^c$ 폭탄이 터져서 괄호 안으로 침투하면, 안에 있던 모든 집합($A, B$) 머리에 $^c$ 혹이 생기고… 가장 중요한 것은 합집합($\cup$)과 교집합($\cap$) 기호가 아예 거꾸로 뒤집혀버린다!”

$(A \cup B)^c$ $\Rightarrow$ 쾅! $\Rightarrow$ $A^c$ $\mathbf{\cap}$ $B^c$
$(A \cap B)^c$ $\Rightarrow$ 쾅! $\Rightarrow$ $A^c$ $\mathbf{\cup}$ $B^c$

이 마법을 쓰면, 아무리 $^c$ 여집합 기호가 복잡하게 얽혀 벤 다이어그램 바깥 우주 공간을 지저분하게 칠해야 하는 문제라도, 단숨에 우리가 가장 익숙한 교실 내부의 원 안건(합집합, 교집합) 문제로 치환시켜 편안하게 색칠 퍼즐을 풀 수 있습니다.

복잡한 영역 렌더링: 원이 3개 이상 얽혀 가운데 코어만 파내거나 한쪽 귀퉁이만 칠해야 할 때는, 일단 덩어리를 묶은 괄호 집합을 만들고 그들을 차집합($-$)으로 빼버리거나 교집합($\cap$)으로 깎아내는 ‘조각 예술’ 테크닉을 씁니다.
드 모르간의 법칙 (De Morgan’s laws): 괄호 바깥의 전체 여집합($^c$) 껍질을 벗겨 안으로 스며들게 할 때, 내부의 집합들을 부정($^c$)하고 가운뎃다리인 합/교집합 컵 기호를 상하 반전 뒤집어 버리는 치트키 정리입니다.

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