03. 세 번째 수업: 무리수, 규칙 없는 영원함 (Irrational Numbers)

히파소스를 죽음으로 몰고 갔던 공포의 숫자 $\sqrt{2}$(루트 2)! 도대체 왜 피타고라스의 제자들은 그토록 분노했을까요? 그것은 이 숫자가 유리수의 규칙들($\frac{a}{b}$, 즉 유한소수나 순환하는 패턴을 가진 소수)을 철저히 무시하는 광기 어린 혼돈의 숫자였기 때문입니다.

1. 분수로 표현할 수 없는 영원함

유리수 단원에서 배운 내용을 떠올려 봅시다. 모든 유리수는 딱 떨어지거나(0.25), 똑같은 노래의 후렴구처럼 순환마디가 무한 반복(0.3333...)되는 질서를 가집니다. 그래서 아름다운 비율의 분수로 돌아갈 수 있었죠.

하지만 $\sqrt{2}$ 를 소수로 펼쳐보면 어떨까요? 1.4142135623730950488...

어떠한 패턴도, 순환하는 숫자 모음도 없습니다. 무한히 난수표처럼 계속 뿜어져 나오는 숫자의 나열입니다. 어떠한 규칙 패턴도 없다는 것은, 분자나 분모라는 정수 비율 통(분수 $\frac{a}{b}$)에 이 숫자를 가둬 담는 것이 우주가 멸망할 때까지 불가능하다는 뜻입니다!

수학자들은 이처럼 이치에도 닿지 않고 분수 비율로 나타낼 수 없는 숫자를 가리켜 무리수(Irrational Numbers)라고 불렀습니다. (Rational 이란 원래 ‘이성적인, 비율의’ 라는 뜻입니다. Irrational은 ‘비이성적인, 비율이 없는’ 이라는 뜻이죠!)

2. 우리가 아는 유명한 무리수 친구들

무리수는 $\sqrt{2}$ 만 있는 게 아닙니다. 이 거친 세계에는 아주 유명한 연예인급 무리수들이 여럿 살고 있습니다.

  1. 원주율 $\pi$ (파이): $3.14159265358979323846…$ (원의 둘레를 계산할 때 쓰는 바로 그 숫자입니다. 순환하지 않는 무한소수계의 영원한 슈퍼스타죠.)
  2. 자연상수 $e$: $2.718281828459045…$ (고등학교 미적분과 복리 이자 계산에 필수적으로 등장하는 신비의 수)
  3. 완전제곱수가 아닌 모든 수의 루트: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$ 등등… (단, $\sqrt{4}$ 는 $2$이므로 유리수입니다!)

3. 파이썬과 무리수의 본모습 관찰하기

우리가 쓰는 파이썬 같은 프로그래밍 언어도 컴퓨터의 메모리 한계 때문에 어쩔 수 없이 무리수의 무한함을 끝까지 저장해 주지 못하고 맨 끝 15자리쯤에서 싹둑 잘라내버리지만(반올림), 외부 도구를 빌려오면 수백 자리까지 관찰할 수 있습니다.

파이썬의 초정밀 계산기인 decimal 모듈을 불러와서 원주율 $\pi$ 와 $\sqrt{2}$ 의 거칠고 무한한 표면을 아주 가까이서 들여다봅시다!

# [Python] 파이썬을 이용해 무리수의 소수점 아래 난수 같은 혼돈 관찰하기
from decimal import Decimal, getcontext
import math

# 파이썬의 부동소수점 한계를 뚫고, 소수점 아래 50자리까지 정밀도를 높여라!
getcontext().prec = 50

# 1. 대각선: 루트 2 의 실체
root_2 = Decimal('2').sqrt()
print("[루트 2 의 혼돈스러운 소수점]")
print(root_2)
print("-> 어떤 숫자의 순환 패턴(반복)도 보이지 않습니다!\n")

# 2. 원주율 Pi 생성
pi_precision = Decimal(math.pi)
print("[원주율 Pi 의 소수점]")
# math.pi 자체가 이미 파이썬 기본 float로 만들어진 값이라 15자리 이후는 무의미한 0으로 채워질 수 있습니다.
# 더 정밀한 공식(예: 아크탄젠트 수식)으로 구하면 끝도 없는 진짜 난수가 나옴을 알 수 있습니다.
print(pi_precision)

[실행 결과]

[루트 2 의 혼돈스러운 소수점]
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769
-> 어떤 숫자의 순환 패턴(반복)도 보이지 않습니다!

[원주율 Pi 의 소수점]
3.141592653589793115997963468544185161590576171875

직접 코드를 실행해보면 알 수 있듯, 1.414213562… 부터 시작되는 $50$자리 숫자 중 어디에서도 $0.33333$과 같은 “같은 숫자가 반복 구역을 이루는 예쁜 순환마디”가 관찰되지 않습니다. 무리수란 이처럼 수학자들을 공포에 떨게 만들 만큼 야생의 순수함 그 자체였던 것입니다!

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