02. 두 번째 수업: 식에도 값이 있다고! (Value of Expressions)

지난 시간에 우리는 문자를 사용해서 길고 지저분한 식을 아주 간결하게 줄여 쓰는 방법을 배웠습니다. $x$나 $y$ 같은 문자는 아직 정해지지 않은 구멍 난 상자(빈칸)와 같습니다.

이번 시간에는 그 빈 상자 안에 진짜 숫자를 집어넣었을 때 어떤 마법처럼 숫자가 완성되어 나오는지, 대입(Substitution)의 원리를 배워봅시다.

학습 목표

  • 식에 등장하는 문자 대신 숫자를 집어넣는 ‘대입(Substitution)’의 개념을 이해합니다.
  • 괄호의 활용법과 부호에 주의하며 식의 값을 정확하게 계산하는 원리를 배웁니다.
  • 함수에 값을 입력하여 결과를 내는 컴퓨터 과학의 자판기 모델을 수식과 연결하여 이해합니다.

1. 대입(Substitution): 기즈모에게 물방울 떨어뜨리기

대입이라는 말은 ‘대신(代)해서 넣는다(入)’는 뜻입니다. 문자 대신에 어떤 강력한 숫자를 식에 집어넣는 과정을 의미합니다.

수학자 비에트는 이 과정을 귀여운 영화 캐릭터인 ‘기즈모(Gizmo)’에 비유했습니다. 영화 <그렘린>에 나오는 기즈모는 몸에 물이 닿으면 사악한 괴물 '모과이'로 변신하며 증식하는 특징이 있습니다.

물방울을 맞고 변신하는 기즈모 애니메이션
  1. 식(Formula)은 아직 물을 맞지 않은 귀여운 기즈모 $x$ 입니다. (예: 생성될 괴물의 수 = $2x + 5$)
  2. 대입(Substitution)은 기즈모에게 떨어뜨리는 물방울(숫자)입니다. (예: 물방울 $x = 3$ml)
  3. 식의 값(Value)은 물방울을 맞고 증식 연산을 끝낸 뒤 실제로 튀어나오는 모과이 괴물의 총 마릿수입니다. (예: 11마리)

기즈모 식 ‘$2x + 5$’ 에 물방울 $x=3$ 을 떨어뜨렸다고 상상해 봅시다.

  • $2x$는 원래 $2 \times x$에서 곱하기가 생략된 것입니다.
  • $x$ 자리에 $3$이 쏙 들어가면, 숨겨졌던 곱하기 기호가 다시 살아납니다!
  • $2 \times 3 + 5$ 로 변환됩니다.
  • 계산하면 $6 + 5 = 11$ 입니다.

이렇게 문자에 숫자를 넣어서(대입하여) 얻어낸 최종 결과 $11$을 식의 값이라고 부릅니다. 아주 직관적이고 재밌죠?

2. 괄호의 마법: 음수를 넣을 때 조심하세요!

양수를 넣을 때는 그냥 숫자만 넣으면 되지만, 마이너스($-$)가 달린 음수를 대입할 때는 매우 조심해야 합니다. 마치 독극물을 다루듯, 음수는 반드시 안전한 보호장구인 괄호 ( )로 꽁꽁 싸매서 대입해야 합니다.

음수 대입 안전 괄호 애니메이션
미래형 수학 자판기 내부 연산 이미지

예제: 식 $-3x + 4$ 일 때, $x = -2$ 대입하기

  1. 문자에 숫자를 대입하기 전에 생략된 곱셈 기호를 다시 살려줍니다. \(-3 \times x + 4\)
  2. $x$ 자리에 음수 $-2$를 넣습니다. 이때 반드시 괄호를 칩니다! \(-3 \times \mathbf{(-2)} + 4\)
  3. 음수와 음수를 곱하면 양수가 되는 규칙을 기억하나요? $(-3 \times -2 = +6)$ \(6 + 4 = 10\)

따라서 이 식의 값은 $10$이 됩니다. 만약 괄호를 치지 않고 대충 $-3 \times -2 + 4$ 처럼 쓰면, 나중에 뺄셈이랑 헷갈려서 계산을 다 망칠 수 있습니다. 음수 대입 = 무조건 괄호 씌우기! 만 기억하세요.

3. 파이썬 SymPy로 식의 값 1초 만에 구하기

수학 문제집에서는 이 계산을 손으로 하나하나 다 풀어야 하지만, 실제 인공지능 엔지니어들이 쓰는 파이썬에서는 subs() 라는 함수 하나로 이 대입 연산을 순식간에 끝냅니다. (subs는 영어 단어 Substitution의 줄임말입니다.)

파이썬이 자판기 역할을 어떻게 하는지 실습해 봅시다!

import sympy as sp

# 1. 기호 상자 만들기
x = sp.Symbol('x')

# 2. 강력한 계산기(식) 설계하기
formula = 2*x + 5

# 3. 상황별로 동전(입력값) 넣기! => subs() 함수 사용
# "formula.subs(x, 3)" 이란 "formula 식의 x 자리에 3을 넣어라" 라는 뜻입니다.

result_1 = formula.subs(x, 3)
result_2 = formula.subs(x, -2) # 음수도 알아서 척척 계산합니다.
result_3 = formula.subs(x, 100)

# 결과 출력
print(f"자판기에 x=3 을 넣으면? 띠링~ 결과는: {result_1}")
print(f"자판기에 x=-2 를 넣으면? 띠링~ 결과는: {result_2}")
print(f"자판기에 x=100 을 넣으면? 띠링~ 결과는: {result_3}")

# 결과값:
# 자판기에 x=3 을 넣으면? 띠링~ 결과는: 11
# 자판기에 x=-2 를 넣으면? 띠링~ 결과는: 1
# 자판기에 x=100 을 넣으면? 띠링~ 결과는: 205

컴퓨터 안에서는 아무리 복잡하게 얽힌 식이라도, $x, y, z$ 값이 주어지면 0.001초 만에 subs()를 통해서 결과값을 연쇄적으로 뽑아냅니다. 우리가 넷플릭스에서 영상을 추천받을 때도, 여러분의 나이, 시청 기록 같은 숫자(동전)들이 알고리즘(거대한 자판기 식)에 대입되어 “취향 점수”라는 식의 값으로 변환되어 나오는 것이랍니다!

학습 정리

  1. 대입 (Substitution): 식 안에 들어 있는 문자(빈 상자) 대신에 특정한 숫자를 집어넣어 식을 완성하는 통과 의례입니다.
  2. 식의 값 (Value): 숫자를 대입한 후, 계산 순서(괄호 $\to$ 곱셈/나눗셈 $\to$ 덧셈/뺄셈)에 맞게 풀어낸 최종 결과값입니다.
  3. 음수 주의보: 음수를 대입할 때는 숫자 주변에 (괄호)라는 방패를 반드시 둘러 쳐야 부호 실수를 하지 않습니다.
  4. 파이썬 명령어: SymPy 라이브러리의 subs(기호, 숫자) 함수를 쓰면 대입과 계산을 한 번에 끝낼 수 있습니다.

식에 숫자를 넣어서 결과를 확인하는 법을 배웠으니, 다음 장 “세 번째 수업: 일차식 간단하게 나타내기”에서는 숫자 대입 전에 복잡하고 지저분한 긴 식을 끼리끼리 묶어서 짧게 다이어트 시키는 훈련을 해보겠습니다!

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