03. 세 번째 수업: 일차식 간단하게 나타내기 (Linear Expressions)

여러분, 책상 위가 어지럽혀져 있을 때 어떻게 정리하나요? 연필은 연필꽂이에, 지우개는 지우개통에, 책은 책꽂이에 ‘같은 종류끼리 묶어서’ 정리하죠?

수학의 수식도 마찬가지입니다. 길고 복잡하게 나열된 식을 보면 눈이 아픕니다. 이번 시간에는 식이 어지럽게 늘어져 있을 때, 수학자들과 컴퓨터가 어떻게 같은 종류(동류항)끼리 모아서 식을 깔끔하게 ‘청소’하는지 알아보겠습니다.

학습 목표

  • 문자와 차수가 같은 항을 뜻하는 ‘동류항’의 개념을 이해하고, 이를 이용해 식을 간단히 정리할 수 있습니다.
  • 분배법칙을 사용하여 괄호를 풀고 식을 연산하는 계산 원리를 익힙니다.
  • 파이썬의 simplify() 명령어가 하는 역할이 복잡한 수식을 동류항끼리 모아주는 것과 같음을 이해합니다.

1. 동류항 (Like Terms): 끼리끼리 모여라!

수학에서 식을 정리하는 핵심 기술은 동류항(Likely Terms)을 찾는 것입니다. ‘동류(同類)’란 같을 동, 무리 류 자를 써서 “같은 무리(종류)”라는 뜻입니다.

마트에서 과일을 고르듯, 아니면 저금통에 동전을 분류하듯 생각해 봅시다.

💰 저금통과 동전 분류하기

비에트는 동류항을 재미있게 ‘저금통’으로 설명했습니다. 책상 위에 500원, 100원, 50원, 10원짜리 동전들이 뒤섞여 있다고 생각해 보세요. 이 동전들을 같은 종류끼리 모아 저금통에 넣으려면 몇 개의 저금통이 필요할까요?

당연히 4개의 저금통이 필요합니다. 500원짜리는 500원짜리끼리, 100원짜리는 100원짜리끼리 넣어야 하니까요. 식에 써 있는 항들도 마찬가지입니다. 같은 종류의 항끼리 모으는 것, 그것이 바로 동류항입니다.

🍎 과일 바구니 인공지능 로봇

장바구니에 사과 3개, 바나나 2개, 다시 사과 2개, 바나나 1개가 섞여 있습니다. 이 상황을 문자를 써서 나타내 볼까요? 사과를 $x$, 바나나를 $y$라고 합시다.

\[3x + 2y + 2x + 1y\]

이렇게 늘어놓고 영수증을 쓰면 굉장히 헷갈리겠죠? 인공지능 로봇이 이 과일들을 정리한다면, 붉은 사과($x$)는 빨간 바구니에, 노란 바나나($y$)는 노란 바구니에 끼리끼리 모아서 정리할 것입니다.

사과와 바나나 동류항 정리 애니메이션
사과와 바나나를 분류하는 인공지능 로봇

🟨 색종이의 넓이 더하기

수학적으로 동류항이란 문자의 종류($x, y$)와 차수(제곱의 횟수)가 똑같은 항을 말합니다. 가로가 $x\text{cm}$, 세로가 $2\text{cm}$인 색종이의 넓이($2x$)와 가로가 $x\text{cm}$, 세로가 $3\text{cm}$인 색종이 넓이($3x$)를 더한다고 생각해 보세요.

  • 색종이 넓이 더하기: $2x + 3x = (2+3)x = \mathbf{5x}$
  • 과일 합치기: $(3x + 2x) + (2y + 1y) = \mathbf{5x + 3y}$

동류항끼리는 앞에 붙어있는 숫자(계수)들끼리 덧셈과 뺄셈을 해서 아주 예쁘고 짧은 하나로 깔끔하게 합칠 수 있습니다!

2. 일차식의 계산 규칙

과일 바구니 정리를 이해했다면, 이제 본격적인 일차식(문자가 한 번만 곱해진 식, 예: $3x$, $-5y$) 청소를 해봅시다.

[규칙 1] 문자가 여러 종류일 때: 자기 짝꿍(동류항)만 찾아서 계산한다.

\(5a - 2b + 3a + 7b\)

  1. $a$는 $a$끼리, $b$는 $b$끼리 묶어줍니다.
  2. $(5a + 3a) + (-2b + 7b)$
  3. $\mathbf{8a + 5b}$

⚠️ 절대 $8a$와 $5b$를 더해서 $13ab$라고 쓰면 안 됩니다! 사과와 바나나를 합쳐서 사바나(?)를 만들 수 없는 것과 같습니다.

[규칙 2] 괄호가 있을 때: 배달 기사님(분배법칙)을 먼저 출동시킨다.

식 앞에 숫자가 곱해진 채로 괄호가 있다면, 이 숫자는 괄호 안의 모든 문자에 골고루 곱해져야 합니다. 이것을 분배법칙(Distributive Property)이라고 합니다. 마치 배달 기사님이 한 명 한 명 빠짐없이 물건을 나눠줘야 하는 것과 같습니다.

\(2(3x + 4) - (x - 5)\)

  1. 먼저 앞의 $2$를 괄호 안의 $3x$와 $4$에 모두 곱합니다(배포). $\Rightarrow 6x + 8$
  2. 뒤의 $-(x - 5)$는 사실 $-1(x - 5)$와 같습니다. $-1$을 골고루 분배해 줍니다. $\Rightarrow -x + 5$ (마이너스가 두 번 만나면 플러스가 됩니다!)
  3. 이제 괄호가 풀린 식을 나열해 볼까요? $\Rightarrow 6x + 8 - x + 5$
  4. 마지막으로 동류항(같은 글자끼리, 숫자끼리) 묶어줍니다. $\Rightarrow (6x - x) + (8 + 5)$ $\Rightarrow \mathbf{5x + 13}$

3. 파이썬 SymPy의 청소기: .simplify()

우리가 방금 손으로 한 괄호 풀기와 동류항 묶기를 컴퓨터는 어떻게 할까요? 파이썬 언어에서는 이 과정을 ‘식 단순화(Simplify)’ 라고 부릅니다.

로봇 청소기의 전원 버튼을 누르는 것처럼, 파이썬 라이브러리 SymPy 에서는 .simplify() 라는 강력한 전용 명령어를 사용합니다. 복잡한 수식이 들어오면 내부 알고리즘이 자동으로 같은 문자($x$)를 쑥쑥 뽑아서 모아줍니다.

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')

# 1. 아까 풀었던 복잡한 과일 바구니 식
messy_fruit = 3*x + 2*y + 2*x + 1*y

# 2. 아주 복잡한 괄호 식 (배달 기사님 분배법칙 필요!)
messy_equation = 2*(3*x + 4) - (x - 5)

# 3. 로봇 청소기 작동! (.simplify())
clean_fruit = sp.simplify(messy_fruit)
clean_equation = sp.simplify(messy_equation)

print(f"과일 바구니 정리 결과: {clean_fruit}")
print(f"복잡한 괄호식 정리 결과: {clean_equation}")

# 출력 결과:
# 과일 바구니 정리 결과: 5*x + 3*y
# 복잡한 괄호식 정리 결과: 5*x + 13

컴퓨터 프로그래머들은 데이터를 분석할 때 이런 수학적 알고리즘을 이용해서 불필요하게 쪼개어져 있는 빅데이터를 한곳에 예쁘게 모으는(분류하는) 작업을 한답니다.

학습 정리

  1. 동류항 (Like Terms): 문자와 그 차수가 완벽하게 똑같은 항. (사과는 사과끼리, 바나나는 바나나끼리!)
  2. 식 간단하게 하기:
    • 괄호가 있다면 무조건 분배법칙을 사용하여 괄호부터 찢어(?) 버린다.
    • 식이 일렬로 늘어지면 흩어진 동류항끼리 짝꿍을 지어 덧셈, 뺄셈을 해서 합친다.
  3. AI 시대의 단순화: 파이썬 SymPy 모듈의 simplify() 명령어를 사용하면 AI가 인간보다 훨씬 빠르고 정확하게 수식 다이어트를 시켜준다.

이제 문자 한 개짜리 일차식을 마스터했습니다! 그런데 만약 세포 분열처럼 똑같은 숫자가 2번, 3번, 10번 계속 곱해진다면 어떨까요? 다음 네 번째 수업 “지수법칙 (Laws of Exponents)” 에서는 데이터가 폭발적으로 증식하는 수학의 마법을 알아보겠습니다!

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