수학자가 들려주는 수학 이야기 32

비에트가 들려주는

식의 계산 이야기

나소연 지음

(주)자음과모음

나소연

2002년 동국대학교 수학교육과를 졸업하고 2006년 이화여자대학교 교육대학원 수학교육과를 전공(이학 석사)하였다. 저서로는 《탈레스가 들려주는 닮음 이야기》가 있다.

《비에트가 들려주는 식의 계산 이야기》는 일상생활에서 악보의 음표나 버스노선을 나타내는 기호 등 의미를 가지고 있는 기호들로부터 이야기를 시작한다. 일상생활에서 볼 수 있는 기호의 편리성과 유용성을 수학 기호와 문자에서도 찾아볼 수 있음을 16세기에 활동했던 수학자 비에트가 수학교사가 되어 설명한다. 문자와 기호를 사용하여 나타내어진 식을 보고 계산하는 방법을 이해하면 수학 공식의 의미와 계산하는 방법도 쉽게 알 수 있다. 이 책을 읽는 학생들은 수업이 거듭될수록 숫자와 문자, 덧셈·뺄셈의 기호 등이 섞여 있는 복잡해 보이는 식이라도 간단하게 나타낼 수 있다는 자신감을 키울 수 있을 것이다.

감수_ 김하얀 서울대학교 수학교육과를 졸업하였다. <수학자가 들려주는="" 수학="" 이야기=""> 시리즈를 기획하였으며, 신수중학교에서 수학을 가르치고 있다. 저서로는 《스퍼트수학》이 있다.

표지 그림_ 김정진 ILLUST_ 문성준 DESIGN_ 권성애

비에트가 들려주는 식의 계산 이야기

수학자가 들려주는 수학 이야기 32 비에트가 들려주는 식의 계산 이야기

ⓒ 나소연, 2008

초판 1쇄 발행일 2008년 8월 5일
초판 2쇄 발행일 2009년 3월 20일
지은이 나소연
펴낸이 강병철
펴낸곳 (주)자음과모음
편 집 이지연
기획 진행 최윤정·김경준
본문 그림 문성준
디자인 권성애·전의숙·임여진·이연경
제 작 김동영
출판등록 2001년 5월 8일 제20-222호
주소 128-840 서울시 마포구 서교동 395-172 상록빌딩 2층
전화 편집부(02)324-2347, 영업부(02)325-6047
팩스 편집부(02)324-2348, 영업부(02)2654-7696
e-mail jamo7@paran.com
Home page www.jamo21.net

ISBN 978-89-544-1567-5 (04410) 978-89-544-1541-5 (set)

  • 잘못된 책은 교환해 드립니다.

수학자가 들려주는 수학 이야기 32

비에트가 들려주는

식의 계산 이야기

나소연 지음

(주)자음과모음

추천사

수학자라는 거인의 어깨 위에서

보다 멀리, 보다 넓게 바라보는 수학의 세계!

수학 교과서에는 ‘결과’로서의 연역적 수학 방법을 제시하는 경향이 강하기 때문에 학생들은 수학이 끊임없이 진화해 왔다는 생각을 하기 어렵습니다. 그렇지만 수학의 역사는 하나의 문제가 등장하고 그에 대해 많은 수학자가 새로운 아이디어로 고심해서 해결해 온 역동적인 과정입니다.

《수학자가 들려주는 수학 이야기》는 수학 주제의 발생 과정을 수학자들의 목소리를 통해 친근하게 이야기 형식으로 들려주기 때문에 학생들이 수학을 ‘과거 완료형’이 아닌 ‘현재 진행형’으로 인식하는 데 도움이 될 것입니다.

학생들이 수학을 어려워하는 요인 중 하나는 ‘추상성’이 강한 수학적 사고의 특성과 ‘구체성’을 선호하는 학생들 사고 사이의 괴리입니다. 이런 괴리를 줄이기 위해 수학의 추상성을 희석시키고 수학의 개념과 원리를 구체적으로 설명하는 것이 필요합니다. 《수학자가 들려주는 수학 이야기》는 수학 교과서의 내용을 생동감 있게 재구성함으로써 추상적인 수학을 구체적인 수학으로 변모시키고 있습니다. 또한 사이사이에 곁들여진 수학자들의 에피소드는 자칫 무료해지기 쉬운 수학 공부에 윤활유 역할을 해 줍니다.

《수학자가 들려주는 수학 이야기》는 우선 수학자의 업적을 개략적으로 소

개하고, 6~9개의 수업을 통해 수학의 내적 세계와 외적 세계, 교실의 안과 밖을 넘나들며 수학의 개념과 원리를 알려 준 뒤, 마지막으로 수업에서 다룬 내용들을 정리합니다. 책의 흐름을 따라 읽다 보면 각 시리즈가 다루고 있는 주제에 대한 전체적이고 통합적인 이해를 할 수 있을 것입니다.

《수학자가 들려주는 수학 이야기》는 학교에서 배우는 수학 교과 과정과 긴밀하게 맞물려 있으며, 전체 시리즈를 통해 학교 수학의 많은 내용을 다룹니다. 예를 들어 《라이프니츠가 들려주는 기수법 이야기》는 수가 만들어진 배경, 원시적인 기수법에서 위치적인 기수법으로의 발전 과정, 0의 출현, 라이프니츠의 이진법에 이르기까지 기수법에 관한 다양한 내용을 다루고 있는데, 이는 중학교 1학년 수학 교과서의 기수법 내용을 충실히 반영합니다. 따라서 《수학자가 들려주는 수학 이야기》를 학교 수학 공부와 병행하여 읽는다면 교과서 내용을 보다 빨리 소화, 흡수할 수 있을 것입니다.

뉴턴은 ‘만약 내가 멀리 볼 수 있었다면 거인의 어깨 위에 앉았기 때문이다’라고 했습니다. 과거의 위대한 사람들의 업적을 바탕으로 자기 앞에 놓인 문제를 보다 획기적이고 효율적으로 해결할 수 있었다는 말입니다. 학생들이 《수학자가 들려주는 수학 이야기》를 읽으면서 위대한 수학자들의 어깨 위에서 보다 멀리, 보다 넓게 수학의 세계를 바라보는 기회를 갖기 바랍니다.

홍익대학교 수학교육과 교수 《수학 콘서트》 저자 박 경 미

책머리에

문자가 있는 식의 간결함과 유용성을 느낄 수 있는

‘식의 계산’ 이야기

이른 아침에 따스한 햇살에서 눈을 뜬 순간 시간을 알리는 시계 바늘이 보입니다. 작은 시계 바늘이 7을 가리키고 큰 시계 바늘이 12를 가리키면 ‘지금 시간이 7시구나’라는 생각을 하게 됩니다. 숫자를 보고 시간을 알 수 있는 것처럼 우리 주위에는 의미를 가지고 있는 것들이 많이 있습니다. 내 동생이 타고 다니는 것과 같은 노란색 차를 보며 ‘유치원을 다니는 어린 동생들이 타고 있겠구나’하는 생각을 하게 되고, 놀이공원을 돌아다니다가 화장실 그림을 보고 화장실을 찾아갈 수도 있습니다. 시계를 보는 방법이나 화장실 표시는 우리가 억지로 기억하려고 하지 않아도 어느 순간 내 머릿속에서 그 자리를 차지하게 됩니다.

수학에서 쓰는 여러 가지 기호나 식도 우리의 일상생활과 똑같이 그 의미를 기억하고 익숙해질 수 있는 것입니다. 처음에는 15 더하기 7을 나타내는 식 ‘15+7’에서 더하기 기호 ‘+’가 무엇인지 모르고 어떻게 계산하는 것인지 낑낑거렸습니다. 하지만 이제는 익숙해져서 ‘22입니다’라고 자신 있게 답을 말할 수 있습니다. 문자를 사용하여 나타내는 식이 처음에는 낯설고 어색할 것입니다. 그러나 이 책을 읽다 보면 시계를 보는 방법을 알고 시계를 보고 시간을 알 수 있게 되듯이 식을 보면

무엇이 더해지고 곱해졌는지 그리고 똑같은 것을 몇 번 곱한 것인지 알 수 있게 됩니다.

시계를 보는 방법과 같이 수학에도 식을 나타내는 방법이 있습니다. 한 가지 방법은 우리가 선생님을 줄여서 간단하게 ‘샘’이라고 하는 것처럼 간단하게 나타내는 방법입니다. ‘어떤 수를 10번 곱한 것에 2를 곱한 것과 어떤 수를 5번 곱한 것에 3을 곱한 수를 더하자’라는 말은 읽기에도 많은 시간이 걸리고 다른 사람에게 글로 써 주기에도 계산을 하는 방법을 이해하기에도 너무 오래 걸리기 때문에 숫자와 곱하기, 더하기 기호를 사용하여 간단하게 나타냅니다.

이 책은 이렇게 복잡하고 긴 말을 비에트의 수업을 통해 간단하게 나타내는 방법을 알려주고 있으며, 간단하게 나타낸 식이 어떤 의미를 가지고 있는지, 어떻게 계산하는 것인지를 쉽게 알려주고 있습니다. 어려워 보이지만 그 식에 숨어있는 뜻을 하나하나 찾아가다 보면 ‘아~ 이렇게 계산된 것이구나!’라는 말이 저절로 나오게 될 거예요. 《비에트가 들려주는 식의 계산 이야기》에서 문자를 사용하여 나타내면 식이 얼마나 식을 간단하게 나타내는지, 줄임말을 쓰는 것처럼 식을 간단하게 나타내는 것이 얼마나 편리하고 유용한 것인지 느끼고 익숙해지는 시간이 되길 바랍니다.

2008년 8월 나 소 연

차례

추천사 • 04
책머리에 • 06
길라잡이 • 10
비에트를 소개합니다 • 18

1 첫 번째 수업 문자를 사용하여 식을 나타내 볼까요? • 25

2 두 번째 수업 식에도 값이 있다고! • 49

3 세 번째 수업 일차식 간단하게 나타내기 • 77

4 네 번째 수업 지수법칙 • 97

5 다섯 번째 수업 다항식 간단하게 나타내기 • 121

6 여섯 번째 수업 곱셈공식 • 137

7 일곱 번째 수업 문자 사용의 역사 • 165

길라잡이

1 이 책은 달라요

일상생활에서 악보의 음표나 버스노선을 나타내는 기호 등 의미를 가지고 있는 기호들을 볼 수 있습니다. 《비에트가 들려주는 식의 계산 이야기》는 일상생활에서 볼 수 있는 기호의 편리성과 유용성을 수학 기호와 문자에서도 찾아볼 수 있음을 수학자 비에트가 선생님이 되어 설명합니다. 문자와 기호를 사용하여 나타내어진 식을 보고 계산하는 방법을 이해하면 수학 공식의 의미와 계산하는 방법도 쉽게 알 수 있습니다. 또한 ‘간단하게 나타내기 위해 어떤 수학 기호를 어떻게 사용하는가’를 배우는 수업이 거듭될수록 숫자와 문자, 덧셈·뺄셈의 기호 등이 섞여 있어 복잡해 보이는 식이라도 간단하게 나타낼 수 있습니다. 뻥튀기 기계, 실험실에서 박테리아 수의 증가, 요리의 농도와 관련하여 수학 기호를 사용하면서 재미를 느끼며 복잡한 식이나 공식도 쉽게 다가갈 수 있습니다.

2 이런 점이 좋아요

  1. 수학에서 문자와 기호는 어떻게 생겨나게 되었는지, 문자와 기호를 사용하면 어떤 것이 좋은지 알 수 있습니다.
  2. 왜 수학식이나 공식에 문자가 있는지, 그 식을 계산하는 방법이 무엇인지를 이해하면서 복잡하게 느껴졌던 수학 공식을 쉽게 이해하게 됩니다.
  3. 박테리아의 증가 수, 속도, 농구 점수 계산 등의 실제적인 현상을 문자를 사용한 식으로 나타낼 수 있습니다.
  4. 색종이의 넓이 구하는 것을 이용하여 문자를 사용한 덧셈과 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 간단하게 나타낼 수 있습니다.

3 교과 과정과의 연계

구분 단계 단원 연계되는 수학적 개념과 내용
초등학교 2-가 6. 식 만들기와
문제 만들기		 • $\square$로 쓰여진 미지수 구하기
• 식 만들기
  4-가 1. 십진기수법 • 자릿값의 의미와 수의 크기를 비교
  4-나 5. 평면도형 • 다각형과 정다각형
• 직사각형과 정사각형의 넓이
  6-가 5. 겉넓이와 부피 • 직육면체와 정육면체의 부피 구하기
• 부피의 단위 알기
중학교 7-가 Ⅰ. 수와 연산 • 소인수분해
• 거듭제곱의 뜻
• 거듭제곱으로 나타내기
• 십진법의 뜻과 자리잡기의 원리
• 정수와 유리수
• 정수와 유리수의 사칙계산
    Ⅱ. 문자와 식 • 문자를 사용하여 식 나타내기
• 식의 값 구하기
• 일차식의 덧셈과 뺄셈 하기
    Ⅴ. 함수 • 함수의 개념과 기호
  8-가 Ⅱ. 식의 계산 • 거듭제곱의 계산
• 다항식의 덧셈과 뺄셈
• 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
  9-가 Ⅱ. 식의 계산 • 전개
• 다항식과 다항식의 곱셈

4 수업 소개

첫 번째 수업 _ 문자를 사용하여 식을 나타내 볼까요?

의미와 뜻을 가지고 있는 악보의 음표, 버스 노선을 알려주는 기호, 세

탁 기호, 컴퓨터 자판의 기호처럼 수학에서도 기호와 문자를 사용하여 식을 간단하고 편리하게 나타낼 수 있습니다.

  • 선수 학습 : $\square$ 구하기, $\square$를 사용하여 식 세우기
  • 공부 방법 : 일상생활에서 볼 수 있는 기호들의 의미를 찾아보고 그 유용성을 이해하면서 수학에서 사용하는 기호나 문자가 식을 편하고 명료하게 나타내는 방법이라는 것을 알게 됩니다. 또한 영어 단어를 생각하며 모르는 것을 어떠한 문자를 사용하는지 익숙해지도록 합니다.
  • 관련 교과 단원 및 내용
    • (2-가) $\square$를 이용하여 식을 세우고 $\square$를 구하는 것을 익힙니다.
    • 수학 공식의 의미와 계산 방법을 알게 됩니다.
    • 속도, 넓이, 길이 등의 영어 단어를 생각해 봅니다.

두 번째 수업 _ 식에도 값이 있다고!

문자를 포함하는 모르는 공식이라도 계산하는 방법을 이해할 수 있습니다. 뻥튀기 기계에 옥수수를 넣어 옥수수 뻥튀기가 나오듯이 문자를 대입하여 식의 값이 나오는 것을 이해할 수 있습니다.

  • 선수 학습 : 자릿값의 의미, 삼각형과 사각형의 넓이 구하는 공식
  • 공부 방법 : 문자를 사용할 때 규칙을 알고 식에 생략된 연산을 생각하여 식의 계산 방법을 이해하고 식에 문자 대신에 숫자를 대입하여

식의 값을 구합니다.

  • 관련 교과 단원 및 내용
    • (4-가) 십진법에서 배운 자릿값을 개념과 평면도형의 종류를 익힙니다.
    • (7-가) 방정식과 함수 단원에서 거리, 속력, 시간, 농도 등의 활용 문제의 식을 세울 수 있습니다.
    • (10-가) 거듭제곱의 법칙을 배우는 ‘지수’ 단원과 지수가 들어가 있는 함수인 지수함수에 연계시킬 수 있습니다.

세 번째 수업 _ 일차식 간단하게 나타내기

정수 지수에 대해 알아봅니다. 정수 지수에 대한 법칙들을 알아봅니다.

  • 선수 학습 : 정수의 덧셈과 뺄셈
  • 공부 방법 : 식의 항, 다항식, 단항식, 상수항, 차수의 뜻을 압니다. 그리고 복잡한 다항식에서 동류항을 찾으면 복잡한 식을 간단하게 나타낼 수 있습니다.
  • 관련 교과 단원 및 내용
    • (7-가) 정수와 유리수에서 덧셈과 양의 부호 +, 뺄셈과 음의 부호 - 에 유의한 사칙 계산이 동류항의 계수 계산에 도움을 줍니다.
    • (7-가) ‘함수’ 단원에서 변수, 함수의 개념을 이해하는데 도움을 줍니다.
  • (8-가) ‘식의 계산’ 단원의 단항식과 다항식의 연산에서 동류항 계산과 연계됩니다.

네 번째 수업 _ 지수법칙

  • 선수 학습 : 소인수분해, 거듭제곱, 입체도형의 부피
  • 공부 방법 : 똑같은 것을 여러 번 곱할 때 거듭제곱을 사용하면 간단하게 나타낼 수 있습니다. 색종이 조각을 구하는 것이나 늘어난 박테리아의 수를 구할 때 그 수가 얼마만큼 증가하는지를 곱으로 나타내면서 이것을 거듭제곱으로 나타내도록 합니다.
  • 관련 교과 단원 및 내용
    • 중학교 1학년의 ‘자연수의 성질’ 단원에서 자연수를 약수의 곱으로 나타내는 ‘소인수분해’와 연계됩니다.
    • 고등학교 1학년의 ‘지수’ 단원에서 실수의 범위까지 확대된 지수법칙과 거듭제곱근을 구하는 데 도움을 줍니다.

다섯 번째 수업 _ 다항식 간단하게 나타내기

  • 선수 학습 : 직사각형의 넓이, 단항식, 다항식, 거듭제곱

  • 공부 방법 : 두 색종이의 넓이를 구할 때 각각의 색종이의 넓이를 구해서 더하는 것과 색종이 두 개를 붙여 놓은 후 넓이를 구한 것은 같습니다. 이것을 분배법칙과 연결해 봅니다.

  • 관련 교과 단원 및 내용
    • (4-가) 평면도형의 넓이 단원에서 직사각형의 넓이 공식 $(가로)\times(세로)$를 익힙니다.
    • (9-가), (10-가) 식의 계산에서 곱셈공식과 연계되며 곱셈공식이 익숙해지면 인수분해도 잘 할 수 있습니다.

여섯 번째 수업 _ 곱셈공식

  • 선수 학습 : 거듭제곱, 동류항의 계산, 분배법칙, 양수와 음수, 수직선
  • 공부 방법 : 정사각형의 좌석에서 가로와 세로의 좌석 수를 알면 전체 좌석의 수를 알 수 있습니다. 정사각형의 좌석의 가로와 세로에 좌석의 수가 변화되면 전체 좌석은 얼마나 변화되는지 생각하면서 곱셈공식에 익숙해지도록 합니다.
  • 관련 교과 단원 및 내용
    • (7-가) 거듭제곱과 동류항의 계산, 분배법칙과 연계됩니다.
    • (7-가) 정수와 유리수에서 양수와 음수의 사칙 계산이 동류항의 계수 계산에 도움을 줍니다.
    • (9-가), (10-가) 인수분해와 이차방정식, 이차부등식의 해와 연계됩니다.

일곱 번째 수업 _ 문자 사용의 역사

  • 선수 학습 : 수학 기호 ‘$+$’, ‘$-$’, 거듭제곱, 문자를 사용한 식
  • 공부 방법 : 수학의 발달과 기호, 문자를 사용하게 된 이야기를 들으며 문자와 기호의 사용이 수학과 생활에 어떤 영향을 주었는지 알아봅니다.
  • 관련 교과 단원 및 내용
    • (7-가) 십진법과 이진법의 계산, 식의 계산에 도움이 됩니다.
    • (7-나) ‘함수’ 단원의 함수, 좌표의 뜻을 아는 데 도움을 줍니다.
    • (9-나) ‘삼각비’ 단원의 삼각비와 연계됩니다.

비에트를 소개합니다

Francois Viete (1540~1603)

나는 《해석학 서설》에서 처음으로 모르는 양이나 변화하는 양을 모음과 자음으로 간단히 나타냈습니다. 이 방법을 이용하면 간단하고 편리하게 식을 나타낼 수 있답니다. 이후 나는 ‘대수학의 아버지’ 라고 불리게 되었습니다.

직업은 아버지의 뒤를 이어 하게 된 변호사입니다. 나의 고객 중에는 스코틀랜드 여왕인 메리 스튜어트도 있고 프랑스의 왕 헨리 4세도 있습니다. 여러 가지 직업을 가지고 있으면서 《수학 요람 1579》, 《해석학 서설 1591》, 《보 기하학 1569》, 《방정식의 수학적 해법 1600》 등의 수학책도 편찬했습니다. 과학에도 관심이 있어 가정교사로 일할 때에는 다양한 과학 이야기를 다룬 에세이를 편찬하기도 했지요.

내가 출판한 책 《해석학 서설 1591》에서 모르는 양이나 변하는 양을 나타낼 때 A, E, I, O, U와 같은 모음을 사용하고, 이미 알고 있는 양이나 고정된 양을 표현할 때는 자음으로 나타내면서부터 나에게 별명이 생겼습니다. 바로 ‘대수학의 아버지’입니다.

내가 살고 있던 시대에는 ‘어떤 것’을 ‘casa’라는 단어를 사용해서 나타냈지만 나는 어떤 것을 A로 더 간단하게 나타냈어요. 그리고 어떤 것의 제곱을 Aq로 어떤 것의 세제곱은 Ac로 나타내면서 식이 더 간단해지고 더 편리하게 되었습니다. 모음과 자음을 사용하여 나타내는 방법이 식을 나타내는데 아주 간단하고 편리하다는 것을 안 사람들도 내가 이용한 방법으로 식을 나타

냈습니다. 이는 수학의 역사에서 중요한 사건이 되었고 그 사건의 주인공이 바로 나였기 때문에 ‘대수학의 아버지’라는 별명이 붙은 거예요. 그래서 나를 기준으로 그 전의 계산은 ‘수 계산’이라고 하고 이후의 계산은 ‘기호 계산’이라고 합니다.

나에 대한 일화를 하나 들려줄까요? 프랑스와 스페인이 전쟁 중일 때 스페인 왕이 절대 해석할 수 없는 암호를 만들었어요. 그 암호를 프랑스 군대가 가로채서 가져오자 나는 해석해서 프랑스가 전쟁에 유리한 전략을 세울 수 있게 해 주었습니다. 그래서 헨리 4세도 나의 수학적 능력을 높이 평가한답니다.

1589년 벨기에의 수학자 로마누스가 프랑스의 모든 수학자들에게 답이 45개가 있는 어려운 문제를 풀어 보라고 하자 헨리 4세는 나에게 도움을 청했습니다. 나는 문제를 읽는 동안 하나의 해답을 발견하였고 하루 동안 22개의 답을 더 구했습니다. 그리고 풀이법을 책으로 쓰면서 이 문제를 낸 로마누스에게 자와 컴퍼스를 가지고 어려운 문제를 풀어 보라는 도전장을 냈어요. 로마누스는 풀 수 없었고 내가 그의 앞에서 멋있게 푸는 방

법을 설명했지요. 그 후 나와 로마누스는 퐁테네를 같이 여행하는 친구 사이가 되었답니다.

자, 이제 나와 함께 문자와 기호를 사용하여 나타내는 식의 세계로 떠나 볼까요? 숫자만 있던 수학의 세계에 영어 알파벳을 사용하고 복잡하고 길게 쓰인 식이 있다고 해서 겁먹지 않아도 됩니다. 식에 쓰인 문자와 기호가 어떤 의미인지 차근차근 알아 가면 식에 숨어 있는 의미를 발견할 수 있을 거예요. 자, 이제 떠납니다. 고~고~씽~.

안녕하세요. 나는 16세기의 가장 위대한 수학자 프랑스와 비에트 입니다.

나는 직업이 아주 많았답니다.

법률가, 판사, 암호 해독가, 가정교사 그리고 수학자 “헥헥~ 능력 있는 사람은 너무도 바빠.”

나의 첫 직업은 아버지의 뒤를 이어 하게 된 변호사였죠.

내 고객 중엔 스코틀랜드의 여왕 메리 스튜어트, 프랑스의 왕 헨리 4세도 있었습니다.

나는 많은 수학책을 썼는데 1591년에 쓴 해석학 서설은 수학사에 큰 획을 그었죠.

모르는 양이나 변하는 양을 나타낼 때 A, E, I, O, U와 같은 모음을 사용하고 이미 알고 있는 양이나 고정된 양을 표현할 때는 자음으로 나타내자.

‘어떤 것’을 ‘casa’라고 표현한다고? 뭐 그리 복잡해? 간단히 A로 나타내면 되지.

어떤 것의 제곱은 Aq 어떤 것의 세제곱은 Ac로 나타내면 아주 간단해.

아주 간단해졌어.

너무 편리해.

비에트는 ‘대수학의 아버지’다.

서브목차