첫 번째 수업
문자와 식
왜 문자를 사용할까요?
내가 바로 수학 계산의 기준이야. 이전의 계산, 수 계산. 비에트 이후의 계산, 기호 계산.
나의 유명한 일화입니다. 쾅 쾅!
프랑스군의 암호인데 너무 어려워서 해석을 할 수가 없습니다. 내가 풀지 못할 암호는 없지.
음하하하! 프랑스군은 절대 해석할 수 없는 암호다.
암호의 뜻은 바로 이것이요.
감사합니다. 비에트 님.
나는 벨기에의 수학자 로마누스가 낸 답이 45개나 되는 문제도 풀어 냈습니다.
22개의 답을 더 구했소.
이제부터 숫자만이 아닌 문자와 기호를 사용하여 나타내는 식의 세계로 함께 떠나 볼까요?
1교시
문자를 사용하여 식을 나타내 볼까요?
문자를 사용하여 식을 나타내어 볼까요? 모르는 수를 $\square, \triangle$ 등을 사용하는 것보다 편한 방법이 있을까요? 문자를 사용하여 식을 간단하게 나타내 봅시다.
첫 번째 학습 목표
- 모르는 수를 문자를 사용하여 나타내 봅니다.
- 문자를 사용하여 식을 나타낼 때 곱셈과 나눗셈은 어떻게 나타내는지 알아봅니다.
미리 알면 좋아요
- 다각형 뾰족한 부분인 각을 가진 도형을 말합니다. 도형을 이루고 있는 선을 변이라고 하고, 이웃하는 두 선분이 만나는 부분을 꼭짓점이라고 합니다. 변의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형이라고 합니다.
graph TD
subgraph ""
A[삼각형]
end
subgraph ""
B[사각형]
end
subgraph ""
C[오각형]
end
subgraph ""
D[육각형]
end
- 속력 시간 간격에 따라 움직이는 양을 나타내는 것으로 물체의 빠르기를 말합니다. 속력을 나타내는 단위 $\text{m/s}$는 ‘미터퍼초’라고 읽는 것으로 $\text{m}$은 미터($\text{meter}$), $\text{s}$는 시간단위 초($\text{second}$)를 나타내고 $\text{km/h}$는 ‘킬로미터퍼시’로 $\text{km}$은 킬로미터, $\text{h}$는 시간단위 시($\text{hour}$)을 나타냅니다. 속력 $60\text{km/h}$인 자동차는 시간 당 $60\text{km}$를 간다는 것으로 3시간 동안의 이동거리는 $60 \times 3=180$, 즉 $180\text{km}$입니다. 따라서 $(이동거리)=(속력)\times(시간)$입니다.
비에트의 첫 번째 수업
오늘 수업에서는 수학에서 문자를 사용하여 식을 나타내는 방법에 대하여 배우겠습니다.
부모님과 차를 타고 여행을 간 적이 있을 거예요. 지도를 보이거나 지름길을 찾아주는 장치인 내비게이션을 이용하면 목적지로 가는 길을 안내받을 수 있어요. 내비게이션을 이용해 길을 안내받으면 이런 화면이 나옵니다.
이 내비게이션을 보고 목적지에 가려면 어떻게 가야 할까요?
왼쪽에는 시작하는 위치에서 목적지까지의 지도를 나타내고 있고, 오른쪽 상단의 기호는 현재 위치에서 어떤 방향으로 얼마나 가야 하는지를 알려주고 있습니다.
현재 위치에서 430미터 이동하여 화살표 표시처럼 오른쪽 방향으로 가라는 것(우회전)을 알려주고 있습니다. 이러한 표시를 모르면 내비게이션이 길을 알려주어도 길을 찾아가기 힘들겠죠? 내비게이션의 표시와 같이 우리 주위에는 많은 표시들이 있습니다.
비에트가 핸드폰을 들며 말했습니다.
핸드폰에 이런 문자가 와 있네요. 어떤 뜻으로 보낸 문자일까요?
아이들은 케이크와 congratulation라는 단어를 보고 잘 안다는 듯이 손을 번쩍 들어 올렸습니다. “축하한다는 ‘congratulation’ 이라는 문자와 케이크 그림이 있으니까 생일을 축하한다는 것 같아요.” 맞습니다. 핸드폰의 문자와 같이 우리 주변에는 의미를 가진 그림이나 문자 같은 것들이 있어요.
비에트가 이번에는 교통 표지판을 꺼내 들었습니다.
| 학교앞 | 정지 STOP | ↱ | 🚳(우회전 금지 표지판) |
길을 가다가 이 표지판들을 본 적이 있죠? 이것을 교통 표지판이라고 합니다.
비에트: 이게 뭐죠? 아이1: 교통 표지판이요. — 비에트: 어떤 뜻일까요? 아이2: 학교 앞에는 학생들이 많으니까 조심해서 천천히 운전하라는 거예요. 아이3: 정지는 차를 정지하라는 얘기죠. 아이4: ↱는 화살표 처럼 차를 우회전 하라는 표시예요. — 아이5: 🚳(우회전 금지)는 우회전이 안 된다는 표시죠. 비에트: 맞습니다. 교통표지판을 보면 운전을 하는데 큰 도움이 되죠. 수학에서 교통 표지판같은 역할을 하는 것이 바로 수학 기호랍니다.
학교앞 이라는 표지판은 여러분들이 학교에 갈 때 많이 보았을 거예요. 학교 앞에는 학생들이 많으니까 조심해서 천천히 운전하라는 거예요. 정지(STOP) 는 잠시 차가 정지해야 한다는 표지판입니다. ↱ 는 화살표가 오른쪽으로 가는 그림이 있으니까 우회전하라는 것이고 🚳(우회전 금지) 는 우회전이 안 된다는 표시입니다. 교통 표지판의 의미를 알아야 학교앞 표지판을 보고 ‘학교 앞이니까 천천히 운전해야지’라고 생각할 수 있겠죠?
교통 표지판과 같이 의미를 가지고 있는 기호들이 많이 있어요. 우리가 입는 옷에는 그 옷을 어떻게 세탁해야 하는지 알려 주는 세탁 기호가 있습니다. 빨래를 할 때는 그 옷에 맞는 세탁 방법에 맞추어 세탁을 해야 옷이 상하지 않는답니다. 자, 그럼 세탁 기호를 볼까요?
세탁기 그림 안에 $60^{\circ}\text{C}$라는 표시가 있죠? 이것은 세탁기에서 빨래를 할 수 있다는 것인데 물의 온도가 $60^{\circ}\text{C}$여야 한다는 것입니다. 꼬인 옷감에 ‘X’가 쳐진 그림은 어떤 표시일까요? 옷을 비틀어서 짜는 사탕과 같은 그림 위에 ‘$\times$’ 표시가 있습니다. ‘$\times$’ 표시는 하지 말라는 의미이니까 이 표시는 옷을 짜서 말리면 안 된다는 것입니다. 이
표시를 모르고 옷을 짜서 말리면 옷이 망가지겠죠?
이밖에도 우리가 생활하는 주변에는 어떤 것을 뜻하도록 약속한 기호들이 많이 있습니다. 여러분이 생각나는 기호는 어떤 것이 있나요?
아이들은 조금도 망설이지 않고 큰 소리로 대답했습니다.
“컴퓨터에 써 있는 글자요.” “우리 집 가는 버스에는 B 라는 기호가 있어요.”
맞습니다. 우리 주위에는 많은 기호가 있어요. 우리가 많이 쓰는 컴퓨터에도 Esc, Alt 와 같은 기호가 있고 버스가 가는 길을 알려주는 B, G 와 같은 기호가 있습니다.
그 외에 일기예보를 보면 🌧비, ❄눈, ☁구름의 양, 🌬️바람의 양과 속도, 구름의 양을 나타내는 기호 등의 기호가 있고, 음악의 악보를 보면 𝄞 높은음자리표, ♩ 4분음표, $\text{\textit{mf}}$ 메조포르테, 조금 세게 등의 기호가 있습니다.
이러한 기호나 문자가 어떤 뜻을 나타내는지 정해진 약속을 알지 못하면 그 뜻을 알 수 없기 때문에 일기예보, 악보 등에 담겨 있는 내용을 이해할 수가 없습니다. 수학에도 일기예보, 악보의 기호와 같이 뜻을 약속한 기호와 문자들이 있습니다.
‘2 더하기 3’이라는 것을 계산하려고 합니다. 더하기라는 말을 사용하는 것보다 더 간단하게 나타내는 방법으로 만들어진 기호가 이것입니다.
비에트는 ‘$+$’기호를 칠판에 썼습니다.
이 기호를 사용하여 ‘2 더하기 3’을 ‘$2+3$’이라고 나타내면 간단하죠? ‘더하기’라는 말보다 ‘$+$’기호가 간단하게 나타낼 수 있기 때문에 모든 사람들이 ‘더하기를 나타내는 기호’는 ‘$+$’라고 약속을 했답니다.
‘$2+3$’라고 되어 있으면 2와 3을 더하라는 것이니까 5라는 답을 얻을 수 있습니다. 여러분들이 덧셈 기호 $+$, 뺄셈 기호 $-$, 곱셈 기호 $\times$, 나눗셈 기호 $\div$, 등호 $=$와 같은 수학 기호를 사용하여 나타낼 수 있기 때문에 ‘$2+3=5$’라고 쓸 수 있습니다. ‘2 더하기 3은 5이다’와 같은 문장을 수학 기호나 문자로 나타낸 ‘$2+3=5$’를 식이라고 합니다.
수학의 기호를 사용하여 나타낸 글인 ‘$(12+8) \div 4$’라는 식을 살펴봅시다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 계산에서는 다음과 같은 순서로 계산합니다.
① 괄호가 있는 것은 괄호 안의 계산을 먼저 한다. ② $+$, $-$, $\times$, $\div$가 섞여 있는 계산은 곱셈과 나눗셈을 먼저 하고, 덧셈과 뺄셈을 한다.
그럼 ‘$(12+8) \div 4$’라는 식은 우선 괄호 안의 ‘$12+8$’부터 계산을 하면 20이므로 ‘$20 \div 4$’이므로 5라는 답을 얻을 수 있습니다. 식 ‘$(12+8) \div 4$’를 보고 계산하는 순서를 알 수 있고 그 식을 계산해서 나오는 결과도 알 수 있습니다.
수학에서 기호를 사용하면 문제를 간단하게 표현할 수 있으며, 식은 계산의 방법과 계산의 결과도 나타냅니다.
‘한 변의 길이를 모를 때 정사각형의 둘레의 길이’를 식으로 어떻게 나타낼까요? 수학 기호를 이용하여 식을 나타낼 때 모르는 것은 $\square$를 이용하기도 합니다. 그러면 정사각형의 둘레의 길이는 ‘$\square \times 4$’입니다. ‘어떤 수보다 4 작은 수’라고 하면 $\square$를 이용하여 ‘$\square - 4$’로 나타냅니다. 오각형⬠ 3개와 삼각형△ 2개가 있을 때 모든 변의 합을 구하려면 변이 다섯 개인 오각형이 3개 있으므로 $5 \times 3$이고 변이 세 개인 삼각형이 2개 있으므로 $3 \times 2$이므로 ‘$5 \times 3 + 3 \times 2$’가 됩니다. 그러면 오각형과 삼각형이 각각 몇 개 있는지 그 수량을 모르면 어떻게 나타낼까요? 모르는 수량을 $\square$를 이용하여 나타내기
도 하니까 오각형이 $\square$개, 삼각형이 $\square$개라고 하여 ‘$5 \times \square + 3 \times \square$’라고 나타낼 수 있습니다. 하지만 $\square$라는 기호 대신에 문자를 사용하여 수량을 나타내면 더 일반적인 식으로 나타낼 수 있습니다. 그래서 ‘$5 \times \square + 3 \times \square$’는 영어 알파벳 문자를 사용하여 나타내면 오각형을 $x$개, 삼각형을 $y$개라고 하고 오각형과 삼각형의 변의 합은 ‘$5 \times x + 3 \times y$’라고 나타낼 수 있습니다.
비에트: $+$, $-$, $\times$, $\div$, $=$ 등은 대표적인 수학 기호죠. 이런 수학 기호도 만들어볼까요? $\square$(네모)를 수학 기호로 이용해 보겠습니다. 정사각형의 둘레의 길이는 ‘$\square \times 4$’ ‘어떤 수보다 4 작은 수’를 ‘$\square - 4$’로 나타낼 수도 있습니다. 아이1: $\triangle$, $\pentagon$ 이런 모양을 사용하면 안 되나요? — 비에트: 상관없습니다. 수학기호를 만드는 사람 마음대로죠. 아이2: 그럼 저는 달을 좋아하니까 이런 기호를 사용할래요. — 비에트: 하지만 수학기호가 제각각이면 다른 사람이 알아보기 힘들겠죠. 비에트: 그래서 일반적으로 ‘$x$, $y$, $z$, $\cdots$’와 같은 영어 알파벳 문자를 사용한답니다.
수식을 나타낼 때 모르는 수는 문자를 사용합니다.
보통 수식을 나타낼 때 $x$를 가장 많이 쓰지만 상황에 따라 다른 문자를 쓸 수 있습니다. 길이를 모를 때는 길이가 영어로 $\text{length}$이므로 첫 글자를 이용하여 $l$로 나타냅니다.
시간은 영어로 무엇이라고 하죠? “$\text{time}$이요.”
그래서 수학에서 시간을 모를 때는 $\text{time}$시간의 첫 글자 $t$로 나타냅니다. 수학에서 자주 쓰이는 문자를 모아 보았습니다. 표에서 보면 속도를 모를 때 보통 $v$를 이용한다고 되어 있지만 문제를 풀 때 어떤 문자를 써야 하나 고민이 된다면 보통 수식을 나타낼 때 $x$를 가장 많이 쓰니까 $x$로 나타낼 수도 있습니다. 하지만 많은 문제들이 모르는 수를 문자로 나타낼 때 모르는 것이 시간인지, 속도인지 등에 따라 표에 있는 문자를 사용하니까 문제를 풀다 보면 나타내는 문자들에 익숙해질 수 있을 거예요.
| 길이 | $l$ length | 거리 | $d$ distance |
| 높이 | $h$ height | 시간 | $t$ time |
| 넓이 | $A$, $S$ area 또는 square | 속도 | $v$ velocity |
| 부피 | $V$ volume | 비율 | $r$ rate |
| 반지름 | $r$ radius | 개수 | $n$ number |
| 지름 | $d$ diameter | 자연수 | $\text{N}$ natural number |
| 온도 | $t$ temperature | 정수 | $\text{I}$, $\text{Z}$ integer |
| 점 | $\text{P}$ point | 실수 | $\text{R}$ real number |
“선생님! 그런데 오각형과 삼각형의 변의 개수를 구할 때 $\square$를 썼을 때와 똑같은 것 같은데 왜 문자를 사용하나요?”
다른 아이들도 이 말이 맞다면서 웅성거리기 시작했습니다.
여러분은 아직 문자를 사용하여 식을 쓸 때의 규칙을 모르기 때문에 그렇게 생각하는 게 당연합니다. 하지만 규칙을 알면 왜 문자를 사용하면 식이 더 간단해지는지 알 수 있습니다.
문자를 사용하여 곱셈을 나타낼 때는 수와 문자, 문자와 문자의 곱에서는 곱셈 기호 ‘$\times$’를 생략해서 쓸 수 있다는 규칙이 있
어요. 그리고 문자와 수의 곱에서는 수를 문자 앞에 씁니다. 그러면 ‘$5 \times x + 3 \times y$’를 규칙을 이용하여 나타내 봅시다.
\[5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y\]모르는 숫자를 $\square$라고 쓰는 ‘$5 \times \square + 3 \times \square$’보다 ‘$5x + 3y$’가 더 간단하죠? 이렇게 식을 간단하게 나타내기 위해서 문자를 사용합니다.
아이들은 그제야 고개를 끄덕이며 이해하는 표정을 지었습니다.
규칙이 더 있어요. 모르는 수와 음수 $-3$의 곱을 나타낸 식인 $x \times (-3)$에서 곱셈 기호 ‘$\times$’를 생략해서 쓰면 $x-3$이 되니까 모르는 수에서 $3$을 빼는 것과 같이 되어버리죠? 그래서 문자와 수의 곱에서는 문자 앞에 수를 써서 $-3x$로 나타냅니다.
문자와 수의 곱에서는 수를 문자 앞에 씁니다.
그러면 어떤 수에 $1$을 곱한 $x \times 1$은 $1x$라고 써야겠지만 어떤 수에 $1$을 곱하면 어떤 수가 그대로 나오니까 $1$은 생략해서 쓴답니다. 하지만 $1$이 들어 있다고 무조건 생략해서 쓰면 안돼요. 그 이유를 이 테이프가 설명해 줄 거예요.
이것은 길이가 $0.1\text{m}$인 테이프입니다. 이 테이프를 어떤 수 $x$개만큼 붙인 길이는 $0.1 \times x\text{m}$이죠? 곱하기 기호를 생략하고 1을 생략해 봅시다.
$\times$ 곱하기 생략하고 쓰기 : $0.1x$ $1$ 생략하고 쓰기 : $0.x$
이 테이프를 10개 붙였다고 하면 이 식에 $x$대신에 10이 들어가야겠죠? 10개 붙인 테이프의 길이를 구하면 $0.x\text{m}$에 10을 쓴 $0.10\text{m}$, 즉 $0.1\text{m}$이 됩니다. 정말 $0.1\text{m}$가 될까요? $0.1\text{m}$의 테이프를 10개 붙여 봅시다.
직접 붙여 보니까 $0.1\text{m}$ 테이프 10개가 모여 $1\text{m}$가 됩니다. 즉 $1$을 생략하여 쓴 $0.1x\text{m}$에서 계산한 $0.1\text{m}$와는 다릅니다. $1$이 들어간 숫자 $0.1, 0.01, 100$과 같은 숫자에서 $1$을 생략하는 것이 아니라 숫자 ‘$1$’을 곱할 때만 생략할 수 있습니다.
이번에는 문자와 문자의 곱을 살펴봅시다. 지금 지나가는 파란색 차는 시속 $40\text{km}$로 일정하게 달려가고 있습니다. 이 속력으로 $3$시간을 움직이면 $\text{(거리)}=\text{(속력)} \times \text{(시간)}$으로 구할 수 있으므로 $3$시간 동안 이동한 거리는 $40\text{km} \times 3 = 120\text{km}$입니다.
파란색 차 다음으로 지나가는 차는 오늘 저녁까지 일정한 속력으로 움직이면 얼마나 이동하는지 문자를 사용하여 나타낼 수 있
습니다. 차의 속력과 시간을 모르니까 속력을 $v$, 시간을 $t$라는 문자를 사용하여 나타내면 $\text{(거리)}=\text{(속력)} \times \text{(시간)}$입니다. 즉, $\text{(거리)}=v \times t$ 입니다. 이 식에서 곱셈 기호 $\times$를 생략하여 $vt$라고 쓰면 됩니다.
\[\text{차가 저녁까지 움직인 거리} = vt\]‘차가 저녁까지 움직인 거리’라고 식을 쓰면 너무 길죠? 문자를 사용하면 식이 간단해지므로 문자를 사용합시다. 이동한 거리는 보통 $d\text{ (distance)}$ 또는 $s\text{ (street)}$로 나타내므로 거리도 문자로 사용하여 $d=vt$라고 씁니다.
문자와 문자의 곱에서는 곱셈 기호를 생략해서 쓸 뿐 아니라 알파벳 순서대로 써 주는 규칙도 있습니다. 그러면 이동한 거리는 $vt$가 아니라 $tv$라고 씁니다.
\[d=tv\]중요 포인트 문자를 사용하여 곱셈을 나타내는 방법 ① 수와 문자, 문자와 문자의 곱에서는 곱셈 기호 $\times$를 생략하고, 문자는 알파벳 순서대로 씁니다. ② 문자와 수의 곱에서는 수를 문자 앞에 씁니다. ③ 어떤 수에 1을 곱해도 그 곱은 그 수 자신이 됩니다.
이번에는 문자를 사용하여 나눗셈을 간단하게 나타내는 방법을 알아봅시다. $3\text{m}$짜리 색 테이프를 네 사람이 똑같이 나누어 가지려고 할 때, 한 사람이 가지는 색 테이프의 길이는 얼마인지 구해 볼까요?
| 가 | 나 | 다 | 라 |
| 가 | 나 | 다 | 라 |
| 가 | 나 | 다 | 라 |
| $0$ | $1\text{m}$ |
가, 나, 다, 라 네 명은 각각 $1\text{m}$의 $\frac{1}{4}$씩 갖게 됩니다.
각 개인이 가지는 테이프의 길이는 $3\text{m} \div 4 = \frac{1}{4}\text{m} + \frac{1}{4}\text{m} + \frac{1}{4}\text{m}$ 이므로 $3\text{m} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\text{m}$입니다. 즉 $3\text{m} \div 4 = \frac{3}{4}\text{m}$에요.
이렇게 우리는 나눗셈을 곱셈을 이용하여 나타낼 수 있습니다. 그래서 문자가 들어 있는 나눗셈을 나타낼 때는 나눗셈 기호 $\div$ 를 생략하고 분수로 나타낼 수 있습니다. 0이 아닌 수로 나눌 때 분수로 나타내면 더 간단하게 나타낼 수 있습니다. $4p \div 2q$를 간단하게 나타내 봅시다.
\[4p \div 2q = \frac{4p}{2q} = \frac{\cancel{4}p}{\cancel{2}q} = \frac{2p}{q}\]이렇게 나눗셈을 분수로 나타내면 약분할 수 있는 경우도 있어 식이 더 간단하게 됩니다.
중요 포인트
문자를 사용하여 나눗셈을 나타내는 방법 나눗셈 기호 $\div$는 생략하고 분수꼴로 쓴다.
문자를 이용하여 식을 세울 수 있나요?
아이들은 자신 있다는 듯이 ‘네’라고 대답했습니다.
그럼 문제를 하나 풀어 봅시다.
여러분에게 엄마가 심부름으로 1000원짜리 두부 $x$개와 100원짜리 사탕 $y$개를 사오라고 하셨습니다. 집 앞 슈퍼마켓에 가면 정가에 살 수 있지만 10분 거리의 슈퍼마켓에 가면 정가의 10%를 할인하여 살 수 있습니다. 10분 거리의 슈퍼마켓에 가면 얼마의 이득이 있을까요?
정가에 물건을 샀을 경우의 가격을 생각해 봅시다. 1000원짜리 두부 $x$개이므로 $1000 \times x = 1000x$원이고 100원짜리 사탕 $y$개이므로 $100 \times y = 100y$원입니다. 따라서 정가에 사면 $1000x + 100y$원입니다. 할인되는 가격을 보면 두부는 $1000x$원의 $10\%$인 $100x$원이 할인되고 사탕은 $100y$원의 $10\%$인 $10y$원이 할인되므로 총 $100x + 10y$원이 할인됩니다.
첫 번째 수업에서는 모르는 수를 문자를 사용하여 나타내어 수식을 만들 수 있다는 것을 배웠습니다. 문자를 사용하여 식을 나타내면 곱셈이나 나눗셈의 기호를 생략하므로 간단하게 표현할 수 있는 장점이 있습니다. 또한 수식을 보면 계산하는 방법과 계산의 결과도 알 수 있습니다. 수식이 어떻게 계산의 결과를 알려줄까요? 다음 시간에는 수식이 어떤 결과를 나타내 주는지 식의 값을 구하는 방법을 배워 보도록 합시다. 다음 시간에 봐요!
첫번째 수업 정리
1 모르는 수를 문자로 나타낼 수 있습니다. 즉 어떤 수에 2를 더했다고 하면 어떤 수를 $x$로 하여 $x+2$라고 나타냅니다.
2 문자를 사용하여 곱셈을 나타낼 때는 다음 방법을 이용합니다.
- 수와 문자, 문자와 문자의 곱에서는 곱셈 기호 $\times$를 생략하고, 문자는 알파벳 순서대로 씁니다. 예를 들어 $2 \times b \times a$는 $2ab$로 나타냅니다.
- 문자와 수의 곱에서는 수를 문자 앞에 씁니다.
- 어떤 수에 1을 곱해도 그 곱은 그 수 자신이 됩니다.
3 문자를 사용하여 나눗셈을 나타낼 때는 나눗셈 기호 $\div$는 생략하고 분수꼴로 씁니다. 예를 들어 $x \div 3$은 $\frac{x}{3}$로 나타냅니다.