2교시

식에도 값이 있다고!

• 식을 보고 계산하는 방법이 무엇인지 알아봅시다.
• 문자를 사용하여 나타내어진 식의 값을 구해 봅시다.

두 번째 학습 목표

1. 식에 생략된 곱셈이나 나눗셈 기호를 생각하여 식을 계산하는 방법을 알아봅니다.
2. 주어진 식의 문자에 어떤 값을 주어 식의 값을 구해 봅니다.

미리 알면 좋아요

1. 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 $\text{(밑변)} \times \text{(높이)} \div 2$입니다.

1. 대각선: 다각형의 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 말합니다.

1. 퍼센트($\%$): 백분비라고도 합니다. 전체의 수량을 100으로 하여, 생각하는 수량이 그중 몇이 되는가를 가리키는 것으로 ‘$\%$’ 기호를 사용합니다. 이 기호는 이탈리아어 cento의 약자인 $\%$에서 유래된 것으로 $\frac{1}{100}=0.01$이 $1\%$에 해당합니다.

예를 들어 경상남도 농민이 키우는 작물을 조사한 결과를 나타낸 원형그래프를 보면 전체 수량을 100이라고 했을 때 쌀과 같은 식량작물을 재배하는 농민은 전체 농민의 $54.4$이고 채소를 재배하는 농민은 전체 농민의 $13$, 사과와 같은 과수를 재배하는 농민은 전체 농민의 $18.2$입니다. 그리고 식량작물, 채소, 과수, 특용작물, 기타의 작물을 모두 더하면 전체 수량은 100이 됩니다.

• 식량작물: 158,215 (54.4%)
• 채소: 37,715 (13.0%)
• 과수: 52,928 (18.2%)
• 특용작물: 14,058 (4.8%)
• 기타: 27,734 (9.6%)

지난 수업 시간에 식을 보면 계산하는 방법이 무엇인지 알 수 있다고 했죠? 이번 수업에서는 식을 보며 식이 의미하는 것과 계산하는 방법을 알아볼 것입니다. 또한 수학에서 문자를 사용하여 나타내어진 식의 값을 구해 보겠습니다.

■ 식을 보며 계산하는 방법 알기

여러분이 보고 있는 다음 식은 어떤 것을 알려줄까요?

\[1000a+100b+10c+d\]

숫자와 문자 사이에 곱하기 기호가 생략되어 있으므로 곱하기 기호를 생각하여 계산하는 방법을 알아봅시다.

\[1000a+100b+10c+d = 1000 \times a+100 \times b+10 \times c+1 \times d\]

• $1000a$는 $1000$이 $a$개 있다.
• $100b$는 $100$이 $b$개 있다.
• $10c$는 $10$이 $c$개 있다.
• $d$는 $1$이 $d$개 있다.

$d$는 문자 앞에 곱하여진 1이 생략된 것으로 $d=1 \times d$입니다.

지난 시간에 물건을 살 때 1000원짜리 두부 $x$개는 $1000x$라고 했죠? 식 $1000a+100b+10c+d$가 어떤 의미를 나타내는지 물건 살 때를 생각해서 살펴보면 1000원짜리 물건이 $a$개 있고, 100원짜리 물건이 $b$개, 10원짜리 물건이 $c$개, 1원짜리 물건이 $d$

개 있다는 것입니다.

식 $1000a+100b+10c+d$를 우리가 쓰는 수와 연관하여 생각할 수도 있습니다.

비에트가 칠판에 ‘2345’ 숫자를 하나 썼습니다.

이 식이 숫자와 어떤 관계가 있을까요? 2345는 ‘이천 삼백 사십 오’라고 읽습니다. 2는 천의 자리의 숫자이고 3은 백의 자리의 숫자, 4는 십의 자리의 숫자, 5는 일의 자리의 숫자입니다. 즉 2345는 4자리의 수입니다.

• 2가 천의 자리의 숫자 : 천이 두 개 있다 $\Rightarrow 1000 \times 2$
• 3이 백의 자리의 숫자 : 백이 세 개 있다 $\Rightarrow 100 \times 3$
• 4가 십의 자리의 숫자 : 십이 네 개 있다 $\Rightarrow 10 \times 4$
• 5가 일의 자리의 숫자 : 일이 다섯 개 있다 $\Rightarrow 1 \times 5$

이제 식 $1000a+100b+10c+d$를 수와 연관하여 살펴볼 수 있습니다.

식 : $1000a+100b+10c+d$

• 천이 $a$개 : $a$가 천의 자리의 수
• 백이 $b$개 : $b$가 백의 자리의 수
• 십이 $c$개 : $c$가 십의 자리의 수
• 일이 $d$개 : $d$가 일의 자리의 수

그럼 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 숫자가 각각 $x, y, z$인 세 자리의 자연수와 십의 자리, 일의 자리의 숫자가 각각 $a, b$인 두 자리의 자연수의 합을 식으로 나타내는 것도 할 수 있습니다.

	백의 자리	십의 자리	일의 자리	식
세 자리의 자연수	$x$개	$y$개	$z$개	$100x+10y+z$
두 자리의 자연수	없음	$a$개	$b$개	$10a+b$
위의 두 자연수의 합	$x$개	$a+y$개	$b+z$개	$\star$

두 자연수의 합 $\star$ 구하기

백의 자리 : $x$개 있으므로 $100x$입니다.

십의 자리 : $a+y$개 있으므로 $10$ 곱하기 $a+y$를 식으로 나타내면

$10 \times (a+y)$

즉, $10(a+y)$입니다.

일의 자리 : $b+z$개 있으므로 $1$ 곱하기 $b+z$를 식으로 나타내면

$1 \times (b+z)$

즉, $b+z$입니다.

$\Rightarrow$ 두 자연수의 합 : $100x+10(a+y)+b+z$

이제 식을 보고 계산하는 방법과 식의 의미에 대해 알겠죠?

학생들은 조금 이해가 간다는 듯이 고개를 끄덕거렸습니다.

숫자와 문자, 기호로 계산하는 방법을 나타낸 식, 즉 공식은 수학책이나 과학책 등에 자주 나타납니다. 여러분이 알고 있는 공식을 다시 한 번 천천히 되새겨 봅시다.

이 도형은 삼각형입니다.

$S = \frac{ah}{2}$라는 공식은 어떻게 계산하는 것인지, 무엇을 의미하는지 살펴보기 위해 그림에 있는 문자를 봅시다.

$a$라고 써 있는 것은 삼각형의 무엇을 나타낼까요?

“밑변이요!”

그럼 $h$라고 써 있는 것은 삼각형의 무엇을 나타낼까요?

“높이요!”

이번에는 삼각형 옆에 있는 식을 살펴봅시다.

\[S = \frac{ah}{2}\]

이 식에서 $ah$는 삼각형의 밑변과 높이의 곱을 나타냅니다. 그리고 분모의 2는 2로 나눈다는 의미입니다. 즉 $\text{(밑변)} \times \text{(높이)} \div 2$를 계산하라는 것입니다. 계산하는 방법이 우리가 초등학교 5학년 때 배운 삼각형의 넓이를 구하는 것과 똑같죠?

$\frac{ah}{2}$는 삼각형의 넓이를 나타내는 공식입니다. 우리가 모르는 것을 문자로 사용할 때 영어 알파벳의 첫 글자를 사용합니다. 넓이를 나타내는 영어 square의 첫 글자가 S죠?

그래서 $\text{(넓이)} = \text{(밑변)} \times \text{(높이)} \div 2$를 문자를 사용하여 나타내면 $S = \frac{ah}{2}$입니다.

우리가 알고 있는 공식 이외에 새로운 공식을 한 번 만들어 볼까요? 삼각형, 사각형, 오각형과 같은 다각형에서 꼭짓점과 이웃하지 않는 꼭짓점을 이어 기본도형인 삼각형 모양으로 쪼개어 몇 개가 들어가는지 공식으로 나타내 보는 거예요.

• 삼각형에는 1개의 삼각형이 들어갑니다.
• 사각형에는 2개의 삼각형이 들어갑니다.
• 오각형에는 3개의 삼각형이 들어갑니다.
• 육각형에는 4개의 삼각형이 들어갑니다.

각 도형의 이름과 들어가는 삼각형의 개수 사이의 관계를 알겠나요?

“도형에 들어가는 이름보다 2개 작은 수만큼 삼각형이 들어갑니다.”

맞습니다. 다각형에 들어가는 삼각형의 수가 도형에 들어가는 숫자보다 2만큼 작습니다. 이것을 이용하여 다각형에 몇 개의 삼

각형이 들어가는지 공식을 한 번 만들어 봅시다. 다각형의 각이 몇 개인지 모르니까 $n$이라고 하면 들어가는 삼각형의 수는 $n-2$입니다.

다각형의 꼭짓점과 이웃하지 않는 꼭짓점을 이었을 때 들어가는 삼각형의 수는 $n-2$입니다.

이렇게 우리가 많이 쓰는 공식들을 잘 살펴보면 계산하는 방법과 의미를 알 수 있습니다.

■ 식의 값

지난 시간에 속력과 시간을 모르는 차의 이동거리는 차의 속력과 시간을 모르니까 속력을 $v$, 시간을 $t$라는 문자를 사용하여 나타낸다고 했습니다. $\text{(거리)} = \text{(속력)} \times \text{(시간)}$이니까 $\text{(거리)} = tv$라고 썼어요.

거리를 나타내는 식 $tv$를 이용하여 속력이 $\text{40km/h}$이고 5시간 동안 움직인 차의 이동거리를 구하면 $40 \times 5 = 200$에서 200km 움직였다는 것을 알 수 있습니다.

\[tv = 5 \times 40 = 200\]

이와 같이 $tv$의 문자 대신에 수를 넣는 것을 대입한다고 합니다. 그리고 대입하여 계산한 결과인 200km를 식의 값이라고 합니다.

우리가 마트에 가면 사탕이 500원, 빵이 1000원, 과자가 2000원이라는 가격이 매겨져 있습니다. 물건에 대한 가격은 그 물건의 값이 얼마인지를 나타내는 것입니다. 이처럼 식의 값은 $tv$라는 것에서 속력 $v$가 $\text{40km/h}$이고 시간 $t$가 5시간일 때 식 $tv$의 가격을 나타내는 것입니다.

자, 내가 들고 있는 인형을 봐 주세요. 이 인형은 <그렘린>이라는 영화에 나오는 기즈모입니다.

귀엽게 생겼죠? 이 기즈모를 키우려면 꼭 지켜야 하는 규칙이 있습니다. 밤 12시 이후에는 음식을 주면 안 되고, 몸에 물이 닿으면 안 되고, 햇빛을 보면 안 된다는 것입니다. 밤 12시 이후에 음식을 주고, 몸에 물이 닿으면 인간을 괴롭히는 녹색의 모과이 괴물이 되어버리거든요.

이 괴물이 모과이 괴물이에요. 기즈모와 모과이 괴물에 물이 1ml 닿으면 나쁜 모과이 괴물이 한 마리씩 나온답니다. 기즈모에 물이 2ml 닿아 생긴 모과이 괴물에 물을 뿌렸다면 얼마나 많은 괴물들이 생겨났을까요?

“두 마리요!”

비에트가 기즈모에게 물을 부었습니다.

네, 두 마리의 모과이 괴물이 생겼습니다. 이번에는 모과이 괴물에 뿌린 물에서 몇 마리의 모과이 괴물이 생기는지 알아봅시다.

기즈모에 물이 2ml 닿아 생긴 모과이 괴물에 물을 얼만큼 뿌렸는지 모르니까 첫 번째 모과이 괴물에게 뿌린 물의 양을 $xml$, 두 번째 모과이 괴물에게 뿌린 물의 양을 $yml$라고 합시다.

첫 번째 모과이 괴물에게 생긴 괴물의 수 : $x$ 두 번째 모과이 괴물에게 생긴 괴물의 수 : $y$

기즈모에게서 생긴 괴물이 두 마리이고 이 괴물에게서 생긴 괴물의 수가 각각 $x$, $y$이므로 전체 괴물의 수를 식으로 나타내면 $x+y+2$입니다.

첫 번째 괴물에게 뿌린 물의 양을 10ml, 두 번째 괴물에게 뿌린 물의 양을 5ml라고 했을 때 식 $x+y+2$의 값을 구해 봅시다.

$x=10$이므로 문자 $x$대신에 10를 대입하고 $y=5$이므로 문자 $y$대신에 5를 대입합니다.

• $x$대신에 10을 씁니다.
• $y$대신에 5를 씁니다.

\[x + y + 2 = 10 + 5 + 2 = 17\]

생겨난 괴물의 수를 나타내는 식의 값은 17이므로 17마리의 모과이 괴물이 생겼다는 것을 알 수 있습니다.

“첫 번째 괴물과 두 번째 괴물에 뿌린 양을 $x, y$라고 다른 문자를 사용했는데 똑같이 5ml로 같아도 되나요?”

문자 $x$와 문자 $y$를 사용한 것은 첫 번째 괴물과 두 번째 괴물이라는 차이를 나타내는 것입니다. $x$와 $y$가 똑같이 5ml를 나타낼 수도 있고 똑같이 10ml를 나타낼 수도 있어요. 모르는 것이 같은 수라고 해도 서로 다른 문자로 나타낼 수 있습니다.

문자를 사용하여 식을 나타낼 때 같은 것을 다른 문자로 나타낼 수 있습니다.

네 각의 크기가 같은 직사각형이 있습니다. 이 직사각형의 넓이는 어떻게 될까요?

가로의 길이와 세로의 길이를 모르니까 문자로 나타내어 봅시다.

가로의 길이 = $x$, 세로의 길이 = $y$

사각형의 넓이는 $\text{(가로의 길이)} \times \text{(세로의 길이)}$로 구하므로 넓이 $S = x \times y = xy$입니다. 이 직사각형의 가로와 세로의 길이가 4로 같다면 문자 $x$대신에 4를 대입하고 문자 $y$대신에 4cm을 대입하여 구하면 됩니다. 그럼 넓이는 얼마인가요?

성훈이가 44라고 했고 승미가 16이라고 했으니까 그 이유를 한 번 들어 봅시다.

성훈이와 승미가 똑같이 $xy$에, $x=4, y=4$를 대입하는데 답이 서로 다르죠?

성훈이와 승미가 말한 생략된 곱하기 기호를 생각하면 사각형의 넓이가 얼마인지 구할 수 있습니다. 하지만 성훈이는 생략된 곱하기 기호를 생각하지 못해서 넓이를 잘못 구했네요! 수와 문자, 문자와 문자 사이에 곱하기 기호를 생략하기 때문에 문자 대신에 숫자를 대입하다 보면 곱하기 기호가 생략되어 있다는 것을 잊어버리기가 쉽답니다. 여러분은 승미처럼 수를 대입할 때 문자와 문자 사이의 곱하기 기호를 꼭 기억하도록 합시다.

곱하기 기호가 생략된 경우를 다시 한 번 생각해 봅시다.

식 $3x-2$에서 $x=5$일 때 식의 값을 구해 봅시다. 이 식에서 $3x$는 $3 \times x$를 나타냅니다. $3x-2 = 3 \times x - 2$이므로 $x=5$를 대입해서 식의 값을 구해 보면 다음과 같습니다.

\[3 \times x - 2 = 3 \times 5 - 2 = 15 - 2 = 13\]

이제 식을 보면 계산하는 방법을 알고 식의 값을 구할 수 있겠죠? 그럼 잠시 쉬는 시간을 가지면서 달콤한 팬케이크를 만들어 봅시다.

비에트가 팬케이크 밀가루에 물을 넣어 만든 것을 굽고 있습니다. 이 모습을 보는 아이들은 모두 팬케이크 먹을 생각에 행복한 표정을 하고 있습니다.

“선생님, 팬케이크 위에 맛있는 시럽을 뿌려 먹어요!”

설탕물을 가지고 메이플 시럽을 만들어 볼까요? 내가 들고 있는 이 냄비 안에는 농도가 $a\%$인 설탕물 50g이 들어 있습니다. 그럼 설탕이 얼마나 들어가 있을까요? 냄비 안 설탕물의 농도가 60%일 때 이 설탕의 양을 구해 봅시다.

설탕물의 양과 설탕의 양 사이의 관계에서 설탕의 양을 구해보면 다음과 같습니다.

$\text{(설탕의 양)} = \text{(설탕물의 양)} \times \text{(농도)}$ $50 \times \frac{a}{100} = \frac{a}{2}$

설탕물의 농도가 60%이므로 $\text{(설탕의 양)} = \frac{a}{2}$에 농도를 대입하면 $\text{(설탕의 양)} = \frac{60}{2} = 30$입니다.

이번에는 뻥튀기를 만들어 봅시다. 지금 이 기계 안에는 옥수수를 넣어서 맛있는 뻥튀기를 만들어 먹을 거예요. 이 기계 안에 옥수수를 10g 넣으면 3배에서 5g만큼 적은 양의 부피의 옥수수 뻥튀기가 나옵니다.

넣은 옥수수와 나온 옥수수 뻥튀기 사이의 관계를 함수라고 이것을 나타낸 식을 함수식이라고 합니다. 함수가 영어로 function이므로 $f$라는 문자를 사용하여 나타냅니다.

$f(\text{옥수수}) = \text{옥수수 뻥튀기}$

넣는 옥수수의 양을 $x$라고 하면 나오는 옥수수 뻥튀기의 양은 3배의 5g만큼 적은 양이 나오므로 식으로 나타내면 $3x-5$입니다. 이것을 함수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

\[f(x) = 3x - 5\]

• 옥수수 $x$를 뻥튀기 기계 $f$에 넣으면 $3x-5$만큼의 옥수수 뻥튀기가 나옵니다.

이 함수식 $f(x)=3x-5$에서 들어간 옥수수의 양 $x=25\text{g}$이라고 했을 때 나온 양인 함수식의 값(함숫값)을 구해 보면 다음과 같습니다.

$3x - 5 = 3 \times 25 - 5 = 75 - 5 = 70$

즉 70g입니다.

식을 보면 계산하는 방법과 무엇을 의미하는지 알 수 있다고 했죠? 그리고 문자 대신에 수를 넣는 대입을 통하여 식의 값도 구할 수 있었습니다. 다음 시간에는 문자를 사용하여 나타낸 식에서 같은 문자가 들어가 있을 때 간단하게 나타내는 방법을 배워 보도록 합시다.

두 번째 수업 정리

1. 식을 보면 계산하는 방법을 알 수 있습니다. 예를 들어 삼각형의 넓이 구하는 공식 $S = \frac{ah}{2}$에서 넓이 $S$는 밑변 $a$와 높이 $h$의 곱을 2로 나누어 구할 수 있습니다. 마찬가지로 $2x + 3$이라는 식을 보면 어떤 수의 두 배에 3을 더했다는 것을 알 수 있습니다.

2. 문자를 포함한 식에서 문자를 어떤 수로 바꾸어 넣는 것을 문자에 수를 대입한다고 합니다. 예를 들어 $x + 3$이라는 식에 $x$대신 5를 써서 $5 + 3$으로 나타낼 때 $x$에 5를 대입했다고 합니다.

3. 식의 값이란 문자에 수를 대입하여 얻은 값입니다. 예를 들어 $x + 3$이라는 식에 $x$에 5를 대입하여 $5 + 3$으로 나타냈을 때 얻은 값 8을 식의 값이라고 합니다.

4. $x$를 넣어 $3x - 5$가 나오는 관계를 함수라고 합니다. 그리고

이것을 나타낸 식 $f(x) = 3x - 5$를 함수식이라고 합니다.

1. $\text{(설탕의 양)} = \text{(설탕물의 양)} \times \text{(농도)}$로 구할 수 있습니다. 예를 들어 설탕물의 양이 50g이고 농도가 60%일 때 설탕의 양은 $50 \times \frac{60}{100}$이므로 설탕의 양은 30g입니다.