5교시 다항식 간단하게 나타내기

식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈을 어떻게 할까요?

분배법칙과 동류항 계산을 이용하여 식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈을 해 봅시다.

다섯 번째 학습 목표

1. 분배법칙을 이용해 봅니다.
2. 분배법칙을 이용하여 전개한 식의 동류항 계산해 봅니다.
3. 식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈을 해 봅니다.

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미리 알면 좋아요

1. 괄호는 말이나 글, 숫자 등을 한데 묶기 위하여 사용하는 부호입니다. 수학에서는 식의 계산의 순서를 나타낼 때 사용합니다. 활 모양의 ‘$( \ )$’를 소괄호라고 하여 묶는 범위가 가장 작은 것을 말하고, 사람의 두 팔을 벌려 감싸 안은 모양을 나타내는 ‘$\lbrace \ \rbrace$’는 묶는 범위가 중간이기 때문에 중괄호라고, 묶는 범위가 가장 큰 ‘$[ \ ]$’를 대괄호라고 합니다.

2. 두 사각형의 넓이의 합을 구할 때 각각을 따로 구해서 더하는 것과 두 사각형을 붙여서 함께 구하는 것의 넓이는 같습니다. ①번 사각형과 ②번 사각형의 넓이의 합을 구해 봅시다.

①번 사각형의 넓이 + ②번 사각형의 넓이 $= 9 + 3 = 12$

두 사각형의 붙여서 생긴 사각형의 넓이 $= 4 \times 3 = 12$

즉, (①번 사각형의 넓이) + (②번 사각형의 넓이) = (두 사각형의 붙여서 생긴 사각형의 넓이)입니다.

이제 여러분은 다항식은 동류항끼리 계산하여 식을 간단하게 나타내고, 거듭제곱으로 나타내어진 식은 지수의 법칙으로 식을 간단하게 나타낼 수 있죠? 이번 시간에는 이것을 이용하여 식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈을 배워 봅시다. 우선 지난 시간까지 배운 것을 확인해 봅시다.

비에트가 칠판에 문제를 썼습니다.

① $x^2y \times x^5y^2$ ② $\frac{a^3b^2}{ab}$ ③ $3x + 5y - 2x + 4y$

자, ①번 문제부터 봅시다. $x$와 $y$가 몇 번 곱해졌나요?

“$x$는 7번이요!”

“$y$는 3번이요!”

네, 맞습니다. $x^2$은 $x$가 두 번이고 $x^5$는 $x$가 다섯 번이므로 7번 곱해졌고, $y$는 한 번 $y^2$은 $y$가 두 번이므로 세 번 곱해졌습니

다. 지난 시간에 배운 지수 법칙을 사용하면 $x^2y \times x^5y^2$를 간단하게 $x^7y^3$으로 나타낼 수 있습니다.

이번에는 ②번~. 분모 분자를 약분해 보세요. 그러면 $a$는 분자와 분모 중 어디에 더 많이 곱해졌나요?

“$a$는 분자에 두 번 더 곱해졌어요.”

$b$는?

“$b$는 분자에 한 번 더 곱해졌어요.”

거듭제곱의 나눗셈에서 분자와 분모의 곱해진 횟수를 비교한 후 약분하면 많이 곱해진 쪽에 차이만큼 남는다고 했죠? $a$가 분자에 두 번, $b$가 분자에 한 번 남으니까 $a^2b$가 됩니다.

이제, 마지막 ③번~ 이 식을 간단하게 하려면 무엇을 찾아야 할까요?

“동류항이요.”

네, 같은 종류의 문자와 똑같은 차수를 가진 동류항을 찾아보

면 $3x$와 $2x$, $5y$와 $4y$입니다. 동류항끼리는 그 앞의 계수를 계산하면 식을 간단하게 할 수 있으므로 $3x - 2x = x$, $5y + 4y = 9y$입니다.

이 세 문제를 자신 있게 풀 수 있나요?

학생들은 큰소리로 ‘네~’ 라고 대답합니다.

이 세 문제를 잘 풀 수 있는 학생은 이번 시간에 식의 계산을 아주 잘 할 수 있어요. 여러분 모두가 큰 소리로 대답한 것을 보니 정말 잘 할 수 있을 것 같네요. 자, 그럼 이것을 봅시다.

비에트가 색종이를 꺼내 들었습니다.

두 색종이의 넓이의 합은 얼마일까요?

“①번 색종이가 $ac$이고 ②번 색종이가 $bc$이니까 더하면 돼요!”

“$ac+bc$요!”

네, 맞습니다. 그럼 두 색종이의 합을 구하기 위해 두 색종이를 붙여 봅시다.

직사각형의 넓이는 (가로) $\times$ (세로)로 구하니까 두 색종이를 붙인 색종이의 가로와 세로의 길이를 구해 보면 가로의 길이가 $a+b$이고 세로의 길이가 $c$입니다. 그럼 붙여진 색종이의 넓이를 구하면 얼마일까요?

”$(a+b)c$입니다.”

잘 구했어요. 그런데 ①번 색종이와 ②번 색종이의 넓이를 각각 구한 후 더한 것과 색종이를 붙인 후 넓이를 구한 것은 같은 것이죠?

\[ac + bc = (a+b)c\]

식 $(a+b)c$는 문자 $a+b$와 $c$ 사이에 곱셈기호 ‘$\times$’가 생략되어 있으니까 우선 괄호 안의 $a+b$를 구한 후 $c$를 곱하는 것입니다.

그런데 괄호 안에 $a$와 $b$를 각각 $c$와 곱한 후 더해서 구한 $ac+bc$와 같죠? $a+b$에 곱하기 $c$를 각각 $a$와 $b$에 분배해서 곱해도 그 값이 같습니다. 이것을 분배법칙이라고 합니다.

분배법칙 : $ac + bc = (a+b)c$ (곱하기 $c$를 각각 $a$와 $b$에 분배합니다.)

$c$가 뒤에 곱해져 있을 때 분배를 하는 것과 같이 $c$가 앞에 곱하여진 식 $c(a+b)$에서도 $c$를 $a$와 $b$에 분배하여 곱할 수 있습니다.

이번에는 두 색종이의 넓이의 차를 구해볼 거예요. ①번 색종이 $ac$에서 ②번 색종이 $bc$를 빼면 $ac-bc$입니다. 직접 색종이를 빼 봅시다.

비에트가 ①번 색종이를 ②번 색종이 크기만큼 잘랐습니다.

남아 있는 색종이의 가로 길이는 $a-b$, 세로의 길이는 $c$이므로 넓이를 구하면 $(a-b)c$죠? 이것은 ①번 색종이에서 ②번 색종이의 넓이를 뺀 $ac-bc$와 같습니다. 두 색종이의 합을 구할 때

와 마찬가지로 $a-b$에 곱하기 $c$를 각각 $a$와 $b$에 분배합니다. 이때 가운데 뺄셈부호 ‘$-$’는 그대로 있어요.

분배법칙 : $ac-bc=(a-b)c$ (곱하기 $c$를 각각 $a$와 $b$에 분배합니다.)

그럼, 분배법칙을 잘 이해하는지 확인해 봅시다.

\[3(a+5)-(4a+10) \div 2\]

$(a+5)$에 3이 곱해 있으므로 분배법칙을 이용하면 $a$와 5에 각각 3을 곱하므로 $3a+15$입니다. $4a+10$에 2가 나누어져 있으므로 분배법칙을 이용하여 나누면 $4a \div 2 = 2a$, $10 \div 2 = 5$이므로 $2a+5$입니다. 이제 식을 간단하게 해 볼까요?

$3a+15$에서 $2a+5$를 빼면 되니까 동류항끼리 계산을 하면 됩니다. $3a+15-(2a+5)$에서 동류항을 찾아보면 $3a$와 $2a$, 15와 5입니다. $3a$에서 $2a$를 빼면 $(3-2)a = 1a = a$이고 15에서 5

를 빼면 10이므로 계산하면 $a+10$입니다.

\[3a+15-(2a+5) = (3a-2a) + (15-5) = a+10\]

$3(a+5)-(4a+10) \div 2$가 분배법칙과 동류항 계산을 하니까 간단하게 $a+10$이 되었습니다.

괄호가 복잡하게 많이 있는 식도 분배법칙을 이용하면 간단하게 나타낼 수 있습니다.

\[2[9+5x^2+2\{15x+2x^2+4(1-3x)\}]\]

괄호는 다음과 같은 순서로 풀어야 합니다.

소괄호 $( \quad ) \Rightarrow$ 중괄호 ${ \quad } \Rightarrow$ 대괄호 $[ \quad ]$

괄호를 계산하면서 동류항끼리 간단하게 나타내는 것도 잊으면 안 돼요!

그럼 괄호 순서대로 풀어볼까요?

우선 소괄호부터 계산해 봅시다.

4를 분배하고 동류항을 계산합니다.

\(2[9+5x^2+2\{15x+2x^2+4(1-3x)\}]\) \(=2[9+5x^2+2\{15x+2x^2+4-12x\}]\)

4분배 : $4(1-3x) = 4 \times 1 - 4 \times 3x = 4 - 12x$

동류항 : $15x - 12x = 3x$

이제 식이 $2[9+5x^2+2{3x+2x^2+4}]$로 조금 더 간단해졌죠?

이번에는 중괄호입니다.

2를 $3x+2x^2+4$의 항 $3x$, $2x^2$, 4에 각각 분배한 $6x+4x^2+8$과 동류항 계산을 하면 돼요.

\(2[9+5x^2+2\{3x+2x^2+4\}] = 2[9+5x^2+6x+4x^2+8]\) \(=2[9x^2+6x+17]\)

동류항 : $9+8=17$, $5x^2+4x^2=9x^2$

이제 대괄호만 남았습니다. 마지막으로 대괄호의 2를 분배하면 다음과 같습니다.

\[2[9x^2+6x+17] = 18x^2+12x+34\]

이렇게 복잡한 식 $2[9+5x^2+2{15x+2x^2+4(1-3x)}]$를 소괄호 $\Rightarrow$ 중괄호 $\Rightarrow$ 대괄호 순으로 정리하면 $18x^2+12x+34$로 간단해집니다.

분배법칙을 이용하면 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈도 할 수 있습니다. $3(x-5)$과 $-2(3x+1)$의 괄호에 곱하여진 숫자 3과 $-2$를 분배하듯이 $2x(x+3)$에서 괄호 앞의 단항식 $2x$도 분배할 수 있어요.

\[2x(x+3) = 2x \times x + 2x \times 3\]

$2x \times x$에서 같은 문자 $x$가 두 번 곱해져 있으니까 거듭제곱으로 나타내면 $2x^2$입니다. $2x \times 3$도 $2 \times x \times 3$과 같으니까 2와 3의 곱 6을 계산하면 $2x \times 3 = 6x$입니다.

\[2x(x+3) = 2x^2+6x\]

나눗셈도 똑같이 분배하면 돼요. $(x^2y+3x^2y^2-4xy^2) \div xy$는 $\div xy$를 분배하면 됩니다.

\[(x^2y+3x^2y^2-4xy^2) \div xy = x^2y \div xy + 3x^2y^2 \div xy - 4xy^2 \div xy\]

첫 시간에 나눗셈을 분수로 나타내면 약분할 수 있는 경우도 있어 식이 더 간단하게 된다고 했어요. 나눗셈을 분수로 나타내면

\[\frac{x^2y}{xy} + \frac{3x^2y^2}{xy} - \frac{4xy^2}{xy}\]

약분하면 $x + 3xy - 4y$입니다.

이번 시간에는 분배법칙과 동류항 계산을 이용하여 식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 해 보았습니다. 괄호 순으로 분배하고 동류항 계산을 하면 됩니다.

직사각형의 넓이는 (가로) $\times$ (세로)로 구할 수 있죠? 이렇게 넓이 구하는 공식처럼 다항식과 다항식의 곱셈을 나타내는 공식이 있어요. 다음 시간에는 그 공식들을 배워 봅시다.

다섯 번째 수업 정리

❶ 각자의 몫을 나누어준다는 분배라고 합니다. 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a$를 각 항 $b$와 $c$에 분배한 $a(b-c) = ab-ac$를 분배법칙이라고 합니다.

❷ 숫자를 묶기 위해 사용하는 괄호는 계산의 순서를 나타냅니다. 계산할 때는 다음 순서대로 합니다.

소괄호 $( \quad ) \Rightarrow$ 중괄호 ${ \quad } \Rightarrow$ 대괄호 $[ \quad ]$