02. 두 번째 수업: $1$차 함수, 가장 솔직하고 반듯한 직선 (Linear Functions)

품질 검사를 통과한 함수 공장 기계들 중에서 구성 부품이 가장 심플하고, 꼼수를 부리지 않는 정직한 자판기가 하나 있습니다. 하나를 집어넣으면 언제나 일정한 규칙대로 두 배, 혹은 세 배만큼만 곧장 정직하게 늘려 뱉어내는 놈. 우리는 이 기계를 “$1$차 함수 (Linear Function)” 라고 부릅니다.

1. 1차 함수의 생김새와 일차원적 뇌 구조

$1$차 함수의 뱃속 구조식은 기본적으로 다음과 같은 아주 직관적인 샌드위치 구조를 취합니다.

\(f(x) = a \cdot x + b\) (또는 $y = ax + b$)

  • 주인공인 변수 $x$ 의 오른쪽 머리통에 위대한 제곱수($x^2$, $x^3$ 등) 계급장이 전혀 달리지 않은 조무래기 $1$제곱 꼬맹이 상태입니다. 그래서 “$1$차 함수” 라고 부릅니다.
  • 입력된 $x$ 덩어리는 기계 안에서 아주 딱 두 가지 물리 타격만 받습니다.
    1. 먼저 $a$ 배수 망치로 배수만큼 곱해져 뻥튀기 펌핑된다. (기울기 조작 $a$)
    2. 컨베이어 벨트를 타고 나오며 마지막 출구에서 $b$ 값만큼 강제 이동(강제 덧셈) 당한다. (Y절편 보정 조작 $b$)

2. 그래프를 관통하는 반듯한 빔 (직선)

이 단조로운 1차 함수 공장 기계 $y = 2x + 1$ 에 입력값 ${0, 1, 2, 3}$ 을 순서대로 콤보로 갈아 넣어 봅시다. 결과는 $1 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 7$ 이 순서대로 나옵니다. 입력이 정확히 $+1$ 씩 증가할 때마다 결과는 아주 한 땀 한 땀 장인 정신으로 정확하게 $+2$ 칸씩 계단식으로 일정하게 커집니다.

이 스캐너 좌표 도트 $(0, 1), (1, 3), (2, 5)$ 점들을 좌표 공간(데카르트 평면)에 콕콕 찍고, 선으로 연결해 버리면 어떻게 될까요? 갑작스럽게 위로 팍 솟구쳐 오르는 폭발이나, 아래로 곤두박질치는 지하실 커브 굴곡이 단 1도 발생하지 않습니다. 영원히 변하지 않는 반듯한 등속도의 계단을 유지하며 우주 끝까지 뻗어나가는 “완벽한 일직선의 빛 무리(Linear)” 가 발사됩니다!

그래서 서양에서는 1차 함수를 대놓고 ‘선 모양의 함수’ 라는 뜻으로 라이너 펑션(Linear Function) 이라고 부릅니다.

3. 선장과 조타수: 기울기(Slope)와 Y절편(y-intercept)

1차 함수 로켓이 날아가는 방향과 궤적의 각도는 단 2개의 숫자 파라미터가 모두 통제합니다.

  1. 기울기 $a$ (Slope): $x$ 에 딱 붙어 곱해져 있는 이 계수 숫자는 로켓의 ‘엔진 출력 가속도 각도’ 입니다.
    • $a$ 가 극도로 높은 양수($+1000$)면, 약간만 $X$로 우측으로 걸어가도 절벽처럼 하늘로 수직 로켓처럼 폭발 상승합니다.
    • $a$ 가 음수($-2$)라면, 우측으로 발을 디딜수록 지하실 쪽으로 반비례 하강 미끄럼틀을 탑니다.
    • 이 기울기 $a$ 의 본질은 $\frac{\text{높이 변화량 } Y}{\text{가로 전진량 } X}$ 입니다. 어디서 본 적 있지 않나요? 네, 바로 직전 챕터에서 배운 삼각비 탄젠트(Tangent $\tan$) 와 $100\%$ 쌍둥이 물리 속성 값입니다!
  2. $Y$절편 $b$ (y-intercept): 이 숫자는 로켓이 처음 발사되는 발사대 ‘우주 기지의 최초 $Y$ 높이 시작점’ 입니다.
    • $X$값이 $0$(시간이 $0$초인 우주 탄생의 순간) 일 때, 이 직선은 무조건 $Y$ 평면 기둥의 높이 $b$ 위치 고도에서 스타트를 끊습니다.

$1$차 함수는 가장 단조로운 단순 수학이지만, 주식 차트에서 단기적인 10분 앞 미래 추세선을 선형 회귀(Linear Regression) 인공지능으로 그려 긋고 예측 타깃을 잡을 때 가장 기본 기초 뼈대로 돌아가는 머신러닝의 근원 조상님입니다.

하지만, 우렁차게 쏘아올린 대포알은 결국 중력의 힘을 받아 위에서 곡선을 그리며 떨어지게 되어 있죠. 직선의 한계를 깨고 자유 낙하 곡선의 세상으로 들어가는 2차 폭격 엔진 함수, 포물선의 세계를 다음 장에서 열어봅시다.

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