04. 네 번째 수업: 크고 작은 유전자 복제 (닮음, Similarity)

합동(Congruence)이 크기까지 쌍둥이같이 완벽히 똑같은 클론 복제였다면, ‘닮음(Similarity)’은 스마트폰 화면을 두 손가락으로 줌인(Zoom-in), 줌아웃(Zoom-out) 하는 것과 같습니다. 도형을 확대하거나 축소했을 때 원래의 도형과 완전히 겹치게 될 때 우리는 두 도형이 “우주적 닮음 관계 비례($\sim$)를 가졌다”고 부릅니다.

학습 목표

크기는 다르지만 그 내면의 각도와 변의 성장 ‘비율(Proportion)’이 완벽히 똑같이 유지되는 고대 측량(탈레스의 발견)의 중심인 닮음비를 배웁니다.
SSS, SAS 닮음 외에도 가장 직관적이고 널리 쓰이는 시야의 마법, AA 닮음 조건을 깨우칩니다.
파이썬의 핵심 자료형인 고정소수점, 실수형(float) 비율 나누기 연산을 통해 픽셀 그래픽의 스케일링(Scaling) 비율을 도출합니다.

1. 줌인/줌아웃의 통제: 일정한 비율의 마법

건축가가 최첨단 랩실에서 손으로 허공의 네온 3D 건물 도면을 줌인하자 닮은꼴 삼각형들이 모양을 유지하며 스케일 업 되는 일러스트

건축가가 설계도면에 $1cm$짜리 방의 도면을 그렸습니다. 그리고 강남 한복판에 실제 건물로 $1000cm$ 짜리 진짜 방을 지었습니다. 이 설계도면과 실제 건물은 $1 : 1000$ 이라는 [닮음비(Ratio of Similitude)]를 가진 완벽한 닮은꼴입니다. 닮음 도형의 절대적인 규칙 두 가지는 다음과 같습니다.

내부 각도는 절대 안 변한다! 폭주 금지! 설계도의 구석이 $90^\circ$의 직각 박스라면, 건물을 아무리 미국 엠파이어 빌딩 크기로 키워도 그 구석 부분 각도는 여전히 $90^\circ$입니다. 줌인/줌아웃 시 각도는 얼음처럼 고정입니다.
모든 뼈대는 ‘동시에 같이’ 늘어난다! 바닥 뼈대를 $2$배 늘렸다면? 기둥 뼈대도 반드시 $2$배, 대각선 지붕 뼈대도 반드시 $2$배로 늘려야 전체 틀이 찌그러지지 않고 닮은 삼각형이 됩니다. (이것이 SSS 닮음의 핵심입니다.)

2. 시야의 폭발: AA 닮음 (가장 중요!)

유클리드가 찾은 세 가지 합동 조건(SSS, SAS, ASA)처럼 닮음에도 조건이 있습니다. 그중 기하학 시험과 우주 측정망에서 가장 미친 듯이 활약하는 놈은 바로 ‘AA 닮음 (Angle-Angle)’입니다!

[AA 닮음 조건] “미지의 삼각형과 작은 삼각형을 비교할 때, 변의 길이는 잴 필요조차 없다! 단지 ‘두 개의 각도(Angle 2개)’만 서로 똑같다면?”

나머지 한 각은 어차피 합이 180도니까 100% 똑같이 강제 배정될 수밖에 없고!

세 각이 다 일치하면 그 삼각형은 사실상 크기만 다르고 모양이 똑같은 [닮은꼴 복제형상]일 수밖에 없다!

탈레스가 이집트에서 피라미드의 높이를 쟀을 때 쓴 것도 바로 이 AA 닮음 원리였습니다. 태양이 쏘는 각도 하나, 그리고 막대기(그리고 피라미드)가 수직($90^\circ$)으로 땅에 서 있는 각도 하나. 딱 2개의 각도(A-A)가 같았기 때문에, 탈레스는 자로 피라미드 모서리를 잴 필요도 없이 그림자만으로 두 개의 거대한 직각삼각형이 닮음비(일정 비율의 줌인 상태)라는 것을 증명해 버린 것입니다.

3. Python 픽셀 스케일러: 부동소수점 `float` 스케일링

포토샵(Photoshop) 같은 프로그램에서 이미지 코너를 쥐고 드래그하면 이미지가 깨지지 않고 커집니다. 포토샵 내부에서는 수백만 픽셀의 $X 좌표, Y 좌표$에 파이썬의 실수(Float) 나눗셈 비율(Ratio) 연산을 곱하여 닮음비를 유지하며 그래픽을 팽창시키고 있는 것입니다.

# 파이썬으로 구현하는 안테나/지도의 줌인/줌아웃 (닮음비 추출기)

def calculate_scale_ratio(original_width, original_height, new_width):
    """
    원본 도면의 너비/높이에 맞춰 새로운 설계도 너비가 들어오면 
    찌그러지지 않게(닮음을 유지하며) 새로운 높이를 계산해냅니다.
    """
    
    # 1. 줌인 / 줌아웃 배수(Ratio)를 파기합니다.
    # 파이썬의 나눗셈(/)은 무조건 소수점이 달린 실수형(Float) 결과값을 반환합니다!
    scale_ratio = new_width / original_width
    print(f"-> 📸 감지된 렌즈 강제 줌(Zoom) 배수: x{scale_ratio:.2f}")
    
    # 2. 너비가 저만큼 배수로 팽창했다면? 
    # 높이도 반드시 똑같은 Float 배수로 팽창시켜야 그래픽(삼각형)이 찌그러지지 않고 유지(닮음)됩니다!
    new_height = original_height * scale_ratio
    
    return new_height

# 고대 피라미드 설계 도면. 가로 5cm, 세로 3cm의 미니 피라미드
blueprint_w = 5
blueprint_h = 3

# 파라오의 명령: "가로 밑변을 230미터(23000cm)로 거대하게 확대 건설하라!"
real_world_w = 23000

# 닮음을 유지하는 마법사 파이썬 호출
real_world_h = calculate_scale_ratio(blueprint_w, blueprint_h, real_world_w)

print("=" * 40)
print(f"건설 지시 완료! 가로 축척이 {real_world_w}일 때, 피라미드의 지붕 높이는 {real_world_h}이어야 AA 직각 닮음이 성립하며 찌그러지지 않습니다.")

소수점이 달린 파이썬의 Float 자료형 연산은 이처럼 기하학의 변들의 비율 파편들을 계산하는 메인 엔진이 됩니다. 원시인들은 이 비율을 나누느라 나뭇잎을 세며 고생했겠지만, 컴퓨터는 scale_ratio * 뼈대 명령 하나로 우주 스케일의 좌표를 축적합니다.

학습 정리

닮음($\sim$)비: 두 다각형의 모서리(각)는 얼음처럼 굳어 일치해야 하고, 모든 변의 길이는 동일한 배수(비율) 곱하기에 의해 늘어나거나 줄어드는 크기 팽창 마법.
AA 닮음 증명: 그 어떤 변의 길이 정보도 필요 없다. 단 2개의 내각만 훔쳐봐서 일치하면, 그 껍데기 선분들은 어쩔 수 없이 닮음꼴(비례식)로 빨려 들어간다.
파이썬과 C++ 엔진에서는 정수(Integer)가 아닌 float (부동소수점)이라는 나눗셈 연산자(/) 특유의 실수 체계를 통해 $0.24, 1.58$ 같은 다차원 줌 비율을 화면상의 좌표 $X, Y$ 점들에 뿌려(Mapping) 스케일링을 구현한다.

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