04. 삼각형 닮음 조건 3가지 삼총사

1. 학습 목표 (Learning Objectives)

• 무수한 도형 중에서도 가장 많이 쓰이는 기본 뼈대인 ‘삼각형’이, 과연 닮았는지 안 닮았는지 수학적으로 검증하는 3대 판별 조건을 배웁니다.
• 파이썬(Python) 함수를 통해 사용자가 삼각형의 변의 길이나 각도를 입력하면 컴퓨터가 자동으로 어떤 조건으로 닮았는지를 판별하는 판독기(Checker)를 코딩합니다.

2. 삼각형이 꼭 닮기 위한 필수 조건 (SSS, SAS, AA)

중학교 기하학에서 가장 중요하게 다루고, 고등학교 수능 기하 문제까지 줄기차게 이어지는 ‘삼각형의 닮음 조건’ 은 딱 세 가지가 있습니다. 합동 조건과 앞의 영문자 머릿글자(Side의 S, Angle의 A)가 똑같아서 외우기 쉽습니다.

1. SSS 닮음 (변-변-변):
   • “세 쌍의 Side(대응변)의 길이의 비가 모두 같을 때”
   • 첫 번째 삼각형 세 변이 (2, 3, 4)인데 두 번째 삼각형 세 변이 (6, 9, 12)라면? $\rightarrow$ 3배로 똑같이 뻥튀기 했으니 볼 것도 없이 닮음입니다.
2. SAS 닮음 (변-각-변):
   • “두 쌍의 Side(대응변) 길이의 비가 같고, 그 Angle(끼인각)의 크기가 같을 때”
   • 두 팔의 길이가 모두 2배로 길어졌는데, 두 팔을 벌리고 있는 각도가 원본과 똑같다면 그 팔끝을 이어 만든 삼각형은 필연적으로 2배 닮은 삼각형이 됩니다.
3. AA 닮음 (각-각):
   • “두 쌍의 Angle(대응각)의 크기가 각각 같을 때”
   • 여기서 주목할 점! 합동일 때는 ASA 합동이었지만 닮음에서는 $S$(변의 길이)가 아예 필요 없습니다.
   • 왜냐하면 삼각형의 세 내각의 합은 180도이므로 두 각이 같으면 나머지 한 각도 자동으로 같아집니다. 각도 세 개가 완전히 다 똑같다면 모양 자체는 100% 같다는 의미이므로 ‘크기는 장담 못해도 무조건 닮았다’고 확정 지을 수 있습니다.

3. 파이썬 삼각형 닮음 판별기 (Python)

주어진 삼각형 A와 B의 데이터를 넣었을 때 닮음인지 테스트하는 논리를 짜봅시다. 변의 길이는 정렬(Sort)을 해야 짝꿍 변이 맞는지 비교할 수 있습니다.

def check_triangle_similarity(triA, triB):
    """
    triA, triB: 각각 (변1, 변2, 변3) 길이 정보 튜플이라 가정
    """
    # 작은 변부터 차례대로 비교하기 위해 정렬합니다
    a = sorted(triA)
    b = sorted(triB)
    
    # 세 변의 길이의 비(b/a)를 각각 구해봅니다
    ratio1 = b[0] / a[0]
    ratio2 = b[1] / a[1]
    ratio3 = b[2] / a[2]
    
    # SSS 닮음 판독: 세 변의 확장 비율이 모두 일치하는가?
    if ratio1 == ratio2 == ratio3:
        return f"완벽한 [SSS 닮음] 입니다! (닮음비 1 : {ratio1:.1f})"
    else:
        return "비율이 서로 어긋나서 닮은 도형이 아닙니다."

A = (3, 4, 5) # 직각삼각형 피타고라스 비율
B = (10, 6, 8) # 길이가 무작위 순서로 입력됨

print(f"삼각형 A: {A}, 삼각형 B: {B}")
print("판별 결과:", check_triangle_similarity(A, B))

파이썬의 실행 결과 요약:

삼각형 A: (3, 4, 5), 삼각형 B: (10, 6, 8)
판별 결과: 완벽한 [SSS 닮음] 입니다! (닮음비 1 : 2.0)

컴퓨터가 똑똑하게 무작위 순서로 들어온 $(10, 6, 8)$을 $(6, 8, 10)$으로 오름차순 정렬한 뒤, 원본 $(3, 4, 5)$와 각 칸별로 나누기를 수행합니다. $6/3=2, 8/4=2, 10/5=2$ 모든 구간의 스케일업 비율이 ‘2.0배’로 확인되었으므로 SSS 닮음 판정을 내렸습니다.

4. 학습 정리 (Summary)

1. 세 쌍의 변의 비율이 일치하거나 (SSS), 두 쌍의 변 비율과 그 끼인 각도가 일치할 때 (SAS) 닮음을 확정합니다.
2. 가장 많이 쓰이는 마스터 키는 AA 닮음입니다. 변의 길이를 아예 몰라도, 두 각의 각도계만 일치하면 이들은 100% 닮음으로 간주됩니다.