05. 하늘의 태양과 그림자, 탈레스의 평행선 정리

1. 학습 목표 (Learning Objectives)

• 도입부에서 배운 탈레스의 피라미드 측량술이 어떤 수학적 논리로 성립했는지 그림자의 비례식으로 증명합니다.
• 삼각형 안에 ‘평행선’을 그으면 놀라운 길이의 비밀(비율)이 생겨난다는 탈레스의 정리를 알아봅니다.

2. 태양빛은 지구에 ‘평행’하게 떨어진다

탈레스가 피라미드 높이를 잴 때 사용한 자연의 강력한 현상이 하나 있습니다. 바로 태양빛입니다. 지구를 비추는 태양빛은 너무나도 멀리서 오기 때문에 지구 표면 어디에 도달하든 그 빛은 서로 완벽하게 평행(Parallel)하게 들어옵니다.

위 그림처럼 거대한 대지 위에 피라미드가 있고, 그 옆에 탈레스가 땅에 수직으로 꽂아 둔 1m짜리 막대기가 있습니다. 태양빛이 평행하게 떨어지면,

• 피라미드 꼭대기($A$)에서 사선을 그리며 떨어지는 그림자 끝부분($B$)이 만드는 커다란 직각삼각형
• 막대기 꼭대기($A’$)에서 떨어지는 그림자 끝부분($B’$)이 만드는 작은 직각삼각형

이 두 개의 삼각형에서 ‘태양빛이 꺾이는 각도’는 평행선의 동위각으로 인해 완전히 똑같습니다. 피라미드나 막대기 모두 지면에 90도(직각)로 서있으니 당연히 수직 각도도 같습니다. 각이 벌써 2개나 같게 되었으니, 앞 챕터에서 배운 강력한 AA 닮음 조건에 의해 큰 삼각형과 작은 삼각형은 완벽하게 100% 모양이 겹치는 스케일 확대 모델이 됩니다!

3. 그림자 비례식을 방정식으로 풀기

이제 닮음비 공식을 이용해 파라오의 고민을 풀어보겠습니다. (당시 상황 가정)

• 막대기의 실제 길이: 1 m ($A’C’$)
• 막대기의 그림자 길이: 2 m ($B’C’$)
• 피라미드의 거대한 그림자 길이: 292 m ($BC$)
• 피라미드의 실제 높이: 우리가 알고 싶은 미지수 $x$ ($AC$)

작은 $\triangle$ 그림자 : 작은 $\triangle$ 높이 = 큰 $\triangle$ 그림자 : 큰 $\triangle$ 높이
$2 : 1 = 292 : x$

비례식의 내항의 곱과 외항의 곱은 같으므로, $2x = 292$
$\mathbf{x = 146}$ m

탈레스는 이 간단한 1차 방정식 끄적임 한 번으로 돌무더기 속에 파묻힌 이집트인들을 압도하며 피라미드의 진짜 높이는 146미터라고 단숨에 알아냈습니다.

4. 학습 정리 (Summary)

1. 자연과 수학의 결합: 태양의 고도에 의해 땅으로 쏟아지는 빛줄기는 완벽한 평행선이며, 세상 모든 물체와 그림자가 이루는 직각삼각형들은 같은 시각에 무조건 AA 닮음을 이룹니다.
2. 탈레스의 평행선 정리: 삼각형의 밑변과 ‘평행선’을 내부에 그으면 그 작은 윗부분 삼각형과 거대한 원래 삼각형은 무조건 닮은 관계이므로 각 선분의 길이 비율이 동일합니다.