13. 열세 번째 수업: 피타고라스 정리의 진화와 확장 (Evolution)
가장 단순해 보였던 직각삼각형 공식 $a^2 + b^2 = c^2$ 는 고대 이집트에서 시작해, 유클리드와 파스칼을 거치며 아인슈타인의 상대성이론에 등장하는 $4$차원 시공간(Space-Time)의 우주 거리를 재는 모델로 진화했습니다. 인류의 뇌 속 작은 상상(삼각형)이 우주의 설계도를 벗겨낸 셈입니다.
1. 1차원 선(Line)부터 3차원 우주까지
우리는 방금 전 수업을 통해 피타고라스 정리가 차원(Dimension)을 뚫고 어떻게 진화했는지 완벽하게 체험했습니다.
- 1차원(선): 수직선 상의 거리 $\sqrt{(x_2 - x_1)^2}$
- 2차원(면, 직각): 평면의 대각선 $\sqrt{a^2 + b^2}$
- 3차원(공간): 방 안을 가로지르는 허공 대각선 $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
그렇다면 과학자들과 인공지능이 취급하는 $4$차원 시공간, 나아가 데이터사이언스의 $100$차원 가상 추천 알고리즘 공간(Netflix Recommendation Vector Space)에서의 거리는 어떻게 계산할까요?
놀랍게도 인간은 상상조차 할 수 없는 $n$차원의 데이터 우주에서도, 오차율을 계산할 때 이 피타고라스 유클리드 거리 공식 구조를 단 1의 변함도 없이 거대하게 늘려서($\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$) 정확히 사용하고 있습니다.
단순한 길이 측정을 넘어서 ‘데이터와 데이터가 얼마나 비슷한가(가까운가)?’ 를 판단하는 인공지능 추천 시스템의 뼈대가 결국 이 기하학적 빗변 방정식입니다.
2. 빗변에서 삼각함수(Trigonometry)의 탄생으로
$\sqrt{2}$ 라는 무리수를 탄생시키며 수(Number)의 세계관을 아작 내버렸던 직각삼각형은, 비로소 세 변의 길이 비율만 알면 각도($Angle$)까지 자유롭게 구해내는 삼각비($\sin, \cos, \tan$)라는 위대한 학문을 임신하게 됩니다.
빗변 분의 높이! 빗변 분의 밑변!
피타고라스의 정리가 $a, b, c$의 변의 ‘길이’ 관계를 밝혀냈다면, 삼각함수는 그 길이를 바탕으로 ‘별까지의 각도’ 나 ‘음파(Sound)의 굽이치는 파동 퍼짐’을 계산해 냅니다. 현대 물리학의 양자 파동 방정식은 결국 이 직각삼각형에서 태어났습니다.
학습 정리
- 차원의 확장(Dimensionality): 방바닥(2D)에서 허공($3D$)으로, 그리고 눈에 보이지 않는 데이터의 우주($100$차원 벡터 공간)로 차원이 늘어나도, 거리를 재는 엔진의 근간은 피타고라스식 투입의 연속 확장에 기반한다.
- 기하학이 대수학(수식)으로 치환되어 파이썬 엔진에서
math.dist()와 다중 배열을 통해 인공지능 학습(Loss calculation)을 수행하는 놀라운 현대 과학의 기반을 이해하자.