04. 네 번째 수업: 삼각비 표와 컴퓨터의 무한 소수점 (Trig Tables)

고대 수학자들은 각도가 $1^\circ$ 변할 때마다 빗변/높이/밑변의 비율이 어떻게 바뀌는지 일일이 자루로 실측하거나, 미적분 급수 공식(테일러 급수)을 손으로 직접 풀면서 수만 장의 두꺼운 전화번호부 크기의 ‘삼각비 표(Trigonometric Tables)’를 만들었습니다.

선원들이 거친 바다에서 별의 각도를 측정하면 두꺼운 삼각비 범례 책을 뒤져 위도, 경도를 찾았죠. 하지만 21세기 우리는 손으로 전화번호부를 넘기지 않습니다. 우리에겐 파이썬(Python)의 math 라이브러리가 존재합니다.

1. 각도라는 치명적인 단어: 라디안 (Radian) 의 횡포

파이썬에게 삼각비를 물어보기 전, 아주 치명적이고 빈번하게 틀리는 에러(버그)를 피해야 합니다. 우리가 평소에 쓰는 “$30$도($\circ$)” 나 “$90$도” 라는 디그리(Degree, $^\circ$) 단위는 사실 인간들이나 쓰는 바빌로니아 $360$ 등분의 고전적 각도 표기입니다.

우주의 기하학적 진짜 각도 기준, 그리고 파이썬(Python) 같은 대부분의 프로그래밍 언어가 기본 탑재하고 있는 각도의 언어 단위는 원주율 파이($\pi$)를 기반으로 하는 라디안(Radian) 이라는 단위를 씁니다. ( $180^\circ$ 도 = $\pi$ 라디안 ) 그래서 $30$도 를 바로 집어넣으면 대참사가 일어납니다! 반드시 “라디안” 으로 변환(Convert)해서 파이썬에 쑤셔 넣거나, 파이썬이 자체 제공하는 편의 변환기를 써야 합니다.

2. 파이썬 math 라이브러리로 무한 소수점 소환하기

이전 챕터에서 배웠던 “가장 외우기 쉬운 눈물의 절반 절벽 $\sin(30^\circ) = 0.5$” 가 컴퓨터에서도 정말 소름 돋게 $0.5$ 가 나오는지 찍어보겠습니다.

# [Python Code] 파이썬으로 삼각비 황금 비율 (SOH-CAH-TOA) 수치 직접 뽑아내기
import math

# 인간의 언어 각도(Degree)
angle_degree = 30  

# 1. 인간 각도를 우주의 기하학 라디안(Radian) 각도로 번역 컴파일!
angle_radian = math.radians(angle_degree)  
# (계산 논리: 30 * (파이 / 180) = 대략 0.5235... )

# 2. 번역된 각도를 삼각 함수에 쑥 집어넣어서 결과 비율 토해내기
sin_value = math.sin(angle_radian) # SOH (높이 / 빗변)
cos_value = math.cos(angle_radian) # CAH (밑변 / 빗변)
tan_value = math.tan(angle_radian) # TOA (높이 / 밑변)

print(f"--- {angle_degree}도의 삼각비 데이터베이스 ---")
print(f"사인(Sine) 30도 = {sin_value:.1f}") 
# 정확히 0.5 가 나옵니다!

print(f"코사인(Cosine) 30도 = {cos_value:.4f}") 
# 0.8660... (이것은 특수각 챕터에서 배운 '루트3 / 2' 의 컴퓨터 소수점 계산 결과입니다!)

print(f"탄젠트(Tangent) 30도 = {tan_value:.4f}") 
# 0.5773... (루트3 분의 1)

3. 아무도 몰랐던 $12^\circ$ 삼각비도 1초 컷

특수각이 아니라면 사람은 절대 머리로 계산하지 못합니다. 하지만 컴퓨터로 math.sin(math.radians(12)) 한 줄만 쳐보면, 단 0.0001초 만에 0.2079 라는 무시무시한 소수점 정밀도를 뱉어냅니다.

“아하, 대각선 미끄럼틀을 $12$도 각도로만 살짝 세우면, 전체 빗변 총 길이 중 높이는 대충 $20.7\%$ ($0.207$) 비율 밖에는 안 올라간다는 뜻이구나!”

우리는 이제 고대 수학자들이 평생에 걸쳐 완성한 마법의 삼각비 표를 주머니 속에 모듈로 가지고 다닙니다. 이 컴퓨터 데이터를 장착했다면, 다음 챕터부터는 끊어진 사다리와 부서진 철교의 퍼즐 부품(사라진 변과 각도)을 계산 복구하는 삼각비 퍼즐 해커의 임무에 돌입하게 됩니다!