05. 다섯 번째 수업: 결코 일어나지 않을 확률, 여사건 (Complementary Events)

어떤 멍청한 도박사가 주사위 하나를 던지면서 이렇게 묻습니다.

“내가 주사위를 딱 굴렸을 때, [$1$ 이 안 나올 확률] 이 얼마나 되냐?”

초보 코더는 바보같이 이렇게 코딩 계산을 돌립니다. “$1$이 안 나와? 음.. 그럼 $2$가 나올 수 있고, $3, 4, 5, 6$ 도 될 수 있겠군. 그럼 총 $5$가지 케이스가 터지니까 정답 확률은 $\mathbf{\frac{5}{6}}$ 이네! 아따 계산 더럽게 복잡하구먼…”

하지만 고인물 시니어 개발자는 이 코드를 콧방귀를 뀌며 $0.1$초 만에 지워버리고 역질문 렌더링으로 쳐냅니다.

1. 여사건 (안 일어날 돌연변이 해킹)

우주에서 내가 던진 사건 시나리오 $A$ 의 확률을 $\mathbf{p}$ 라 하고, 그 반대편에서 그 일이 죽어도 안 터질 찌꺼기 여집합 확률을 $\mathbf{q}$ 라고 합시다. 당연히 이 두 운명을 더하면 우주의 $100\%$ 한 덩이 운명($= 1$) 이 됩니다. $p + q = 1$

시니어 개발자는 이 단순한 공식을 가지고 이렇게 백발백중 꼼수 치트를 때립니다.

시니어: 야, “1 이 안 나올 확률” 을 굳이 왜 $5$개씩이나 노가다로 더하냐? 그냥 [1 이 단번에 나올 그 극악의 확률($1/6$)] 을 우주 전체 $100\% \ (= 1.0)$ 베이스 확률 덩어리에서, 팍 빼버리고 빼버령!!

$\mathbf{1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}} \ \Rightarrow \ {정답!}$

이렇게 “내 목적을 구하려면, 존나 계산하기 간편한 쓸모없는 반대 사건 확률을 구한 다음에, 무조건 1에서 확 빼라(마이너스)!!” 라는 것이 바로 여사건(Complementary events) 치트키의 정의입니다.

2. “적어도 하나는~” 의 절망적인 텍스트

수학 문제나 디버그 조건에 “적어도(at least) 하나는 ~할 확률을 구하시오” 라는 잔인한 텍스트 문구가 뜰 때가 있습니다. 이 단어는 초보 코더를 노리는 잔혹한 트랩 덫입니다.

버그 예제: 동전 $3$개를 동시에 던졌다. “적어도 하나는 뒷면” 이 나올 확률은?

• 초보 코더 (노가다 덧셈식 분기 탐색): 1) 어? 그럼 세 동전 중에 딱 $1$개만 뒷면일 수도 있고.. (확률 구함 $\rightarrow$ 계산) 2) 에구, 아니면 $2$개가 뒷면이어도 상관없지.. (확률 또 구함 $\rightarrow$ 덧셈 계산) 3) 와씨, 아예 셋 다 사이좋게 모조리 뒷면이어도 “적어도 하나 뒷면” 에 통과잖아? (확률 또 구함 $\rightarrow$ 휴우..) 결과: 연산량 과다로 뇌정지 방전!

• 시니어 코더 (여사건 $1 - P$ 파싱 해킹): “적어도 하나 뒷면” 의 완벽한 정 반대 쌍둥이 악마 시나리오는 무엇인가? $\rightarrow$ 단 한 놈의 뒷면조차 나오지 않은, “셋 다 싹 다 [앞면/앞면/앞면] 잭팟 모드” 가 일어날 때 뿐이다! 셋 다 앞면일 확률은 조온나 계산하기 쉽지. $1/2 \times 1/2 \times 1/2 = 1/8$ 이네. 아아.. 그럼 내가 구할 진짜 정답 복잡한 확률은 이거야! $\mathbf{1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}}$ \ ($87.5\%$ 잭팟!) 계산 끝!!

여사건 역추적 해킹은 컴퓨터 알고리즘과 보안 맵 탐색에서도 거쳐야 할 어마어마한 잔가지 시나리오 연산량을 거의 $0$ 으로 소거해버리는 기적의 “역발상 빼기 코드” 입니다. “적어도 하나가…” , “~이 아닐 확률은…” 조건이 보이면 그 덫을 밟지 말고 우회하여 반대 시나리오 확률을 구해서 무조건 $\mathbf{1}$ 에서 빼버리십시오!

자, 확률 파트 최후의 6강, 대망의 파이썬 인터프리터 주사위 카지노 시뮬레이터 시스템 가동을 시작합시다!