02. 두 번째 수업: 복소수 평면과 공간의 확장 (Complex Plane)

“허수는 현실의 자(Ruler) 위에 찍을 수 없어. 왜냐하면 실제로 존재하지 않으니까!” 이 말은 절반만 맞고 절반은 틀렸습니다. 현실의 1차원 수직선 위에는 $i$가 살 집이 없습니다. 하지만 차원을 하나 더 뚫어버린다면 어떨까요?

1. 진짜와 가짜의 혼혈: 복소수 (Complex Numbers)

허수 단위 $i$ 는 자신을 실수들과 결합하여 혼혈아를 낳기 시작했습니다. 어떤 숫자에 실질적인 몸집($a$)과 상상력 더듬이($b \times i$)가 동시에 존재한다면, 이 두 가지 성질이 결합(Complex)된 숫자를 우리는 복소수(Complex Numbers)라고 부릅니다. 보통 미지수 $z$ 로 씁니다.

\(\textbf{복소수 } z = a + bi\)

• $a$ : 실수 부분 (Real Part, 현실 세계의 좌표)
• $b$ : 허수 부분 (Imaginary Part, 마법 세계의 좌표)

$3 + 2i$ 라는 숫자는 “현실 파워 $3$ + 마법 파워 $2$”가 하나로 뭉친 완벽한 패키지 숫자입니다! (단, 사과와 오렌지처럼 완전히 결이 다른 숫자이므로 둘을 더해서 $5i$ 라고 억지로 합치면 절대 안 됩니다.)

2. 2차원으로 찢어지는 수직선 (아르강 도표)

$3 + 2i$ 를 눈에 보이게 그리려면 어떻게 해야 할까요? 위대한 수학자 가우스와 아르강은 미친 짓을 벌입니다. 기존의 가로로 쭉 뻗은 수직선을 “실수 축(Real Axis / $x$축)”으로 냅두고, 그 정중앙 $0$을 관통하여 위아래 수직으로 솟구치는 또 하나의 선, “허수 축(Imaginary Axis / $y$축)”을 꽂아버린 것입니다!

이로써 인류는 단층 아파트에 살다가, 갑자기 x축과 y축이 그려진 “복소 평면(Complex Plane)” 이라는 무한한 2D 우주 공간에 던져지게 되었습니다.

3. 복소수 = 2D 벡터 좌표

이제 복소수 $3 + 2i$ 는 복소 평면 위에서 가로축(실수)으로 $3$칸, 세로축(허수)으로 $2$칸 이동한 지점의 하나의 점(Point) 이며, 원점으로부터 날아가는 2D 무기(벡터)가 됩니다!

• $x$좌표, $y$좌표 시스템과 완전히 기능이 일치합니다.

이 놀라운 발견 덕분에 공학자들은 게임 맵의 캐릭터 위치 $(x, y)$ 의 이동이나, 화면의 3D 그래픽을 움직일 때 귀찮은 삼각함수와 행렬 없이 오직 “복소수 하나($a+bi$)” 속에 두 개의 차원 정보를 우겨 넣어 초고속으로 계산할 수 있게 되었습니다!

4. 파이썬으로 복소수 좌표 뜯어보기

파이썬에서는 사실 복소수가 이미 내장(built-in)되어 있습니다! 복소수는 2차원 평면의 “좌표” 역할을 하기 때문에 파이썬 객체 안에는 $x$축 정보와 $y$축 정보가 예쁘게 포장되어 묶여 있죠. abs() 함수를 쓰면 놀랍게도 원점으로부터 복소수 점까지의 피타고라스 대각선 거리마저 한 방에 구해줍니다.

# [Python] 복소 평면의 2D 점 좌표와 원점 거리 추적기
import cmath

# 2D 좌표를 3 + 4j 라는 단 하나의 복소수 변수로 선언! (파이썬에서 허수는 j)
z = 3 + 4j

print(f"은하계 좌표 z: {z}")

# 객체 내부에 숨겨진 x(실수), y(허수) 좌표 열람
print(f"-> X 좌표 (실수 영역/Real) : {z.real}")
print(f"-> Y 좌표 (허수 영역/Imag) : {z.imag}")

# 원점(0,0) 에서 이 별(3, 4) 까지의 거리 (Magnitude) 구하기
# 수학: sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(25) = 5
# 파이썬은 abs() 를 숫자형 복소수에 쓰면 즉시 2D 벡터의 거리를 뿜어냅니다!
distance = abs(z)
print(f"\n-> 원점 기지국으로부터의 직선 거리: {distance}")

[실행 결과]

은하계 좌표 z: (3+4j)
-> X 좌표 (실수 영역/Real) : 3.0
-> Y 좌표 (허수 영역/Imag) : 4.0

-> 원점 기지국으로부터의 직선 거리: 5.0

단순한 숫자 두 개(3과 4j)를 붙여놨을 뿐인데, 파이썬과 수학 엔진은 이것이 2차원 공간의 좌표계이며 원점으로부터 거리가 5라는 기하학적 의미를 완벽하게 이해하고 있습니다! 이 점들이 복소수 세계에서 어떻게 날아다니는지 다음 장에서 확인합시다.