2. 등차수열 (Arithmetic Sequence)

[도입부] 학습 목표 (Learning Objectives)

  • 등차수열의 개념과 공차(Common Difference)의 의미를 이해합니다.
  • 등차수열의 일반항 식을 스스로 유도하고 계산할 수 있습니다.
  • 파이썬(Python)의 range() 함수와 while 문을 이용해 등차수열을 프로그래밍적으로 구현해봅니다.

1. 일정하게 커지거나 작아지는 수열

수열 중에서 가장 기본적이면서도 중요한 수열이 바로 등차수열(Arithmetic Sequence)입니다. ‘등차’라는 말은 ‘차이가 같다(Equal Difference)’라는 뜻을 가집니다. 즉, 앞의 수에 일정한 숫자를 계속 더해나가면서 만들어지는 수열입니다.

예를 들어, 2부터 시작해서 3씩 계속 더해지는 수열을 상상해보세요.

등차수열의 변화량 SVG

  • 첫 번째 숫자(첫째항): $2$
  • 두 번째 숫자(제 2항): $2 + 3 = \mathbf{5}$
  • 세 번째 숫자(제 3항): $5 + 3 = \mathbf{8}$
  • 네 번째 숫자(제 4항): $8 + 3 = \mathbf{11}$

여기서 계속해서 일정하게 더해지는 수를 수학에서는 공차(Common difference)라고 부르며, 보통 알파벳 $d$로 표시합니다. (Difference의 머리글자입니다!)


2. 등차수열의 일반항 ($a_n$) 찾기

수열의 규칙을 파악했다면, “이 수열의 100번째 숫자는 무엇일까?” 와 같은 질문에 답할 수 있어야 합니다. 100번을 일일이 더하고 있을 순 없으니까요. 아무 자리나 바로 계산해낼 수 있는 마법의 공식을 일반항($a_n$)이라고 합니다.

위의 그림 속 규칙을 다시 한번 볼까요?

  • $a_1 = 2$
  • $a_2 = 2 + 3$ (공차 1번 더함)
  • $a_3 = 2 + 3 + 3 = 2 + (2 \times 3)$ (공차 2번 더함)
  • $a_4 = 2 + 3 + 3 + 3 = 2 + (3 \times 3)$ (공차 3번 더함)

만약 10번째 숫자($a_{10}$)를 구한다면 공차를 몇 번 더해야 할까요? 시작하는 1번째부터 세기 때문에, 총 9번 징검다리를 건너면 됩니다. (즉, $10 - 1 = 9$)

수학 공식으로 표현하면 다음과 같습니다. \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

  • $a_n$: 제 $n$항 (원하는 번째의 숫자)
  • $a_1$: 첫째항 (시작하는 숫자)
  • $n$: 항의 번호
  • $d$: 공차 (더해지는 일정한 숫자)

이 공식에만 대입하면 100번째 숫자든, 1000번째 숫자든 바로 찾아낼 수 있습니다!

3. 💻 파이썬(Python)으로 등차수열 만들기

이러한 수학적인 똑같은 계산을 반복하는 것은 파이썬이 가장 잘하는 일입니다! 수학의 일반항 공식을 쓰지 않고, 컴퓨터의 반복문(while 또는 for)을 사용해서 스스로 숫자를 더해나가게 만들어 봅시다. 파이썬의 range() 함수는 자체가 등차수열의 생성기입니다.

🐍 파이썬 예제 1: range 함수를 이용한 등차수열

파이썬의 range(시작, 끝, 간격) 함수는 등차수열을 아주 쉽게 만들어냅니다.

# 첫째항이 2이고, 공차가 3인 등차수열 출력 (15 미만까지만)
# range(시작점, 끝점, 공차(간격))
arithmetic_seq = list(range(2, 16, 3))

print("등차수열:", arithmetic_seq)
# 결과: 등차수열: [2, 5, 8, 11, 14]

🐍 파이썬 예제 2: while 반목문을 활용해 등차수열 10번째 항 구하기

이번엔 컴퓨터가 변수에 값을 계속 누적하여 더해나가도록 만들어 보겠습니다.

a_1 = 2      # 첫째항 (a)
d = 3        # 공차 (d)
n = 1        # 현재 항 번호 카운터
current_val = a_1

# 10번째 항(n=10)이 될 때까지 반복
while n < 10:
    current_val = current_val + d  # 공차를 계속 더해줌
    n = n + 1  # 징검다리 한 칸 이동

print(f"제 10항의 값은 {current_val} 입니다.")
# 수학 공식 확인: 2 + (10 - 1) * 3 = 29

수학에서 공식을 암기해서 한 번에 푸는 것과, 컴퓨터가 0.001초만에 반복 작업을 수행해서 목표값에 도달하는 원리가 똑같죠!

[결론] 학습 정리 (Summary)

  1. 등차수열: 첫째항에서부터 일정한 수(공차)를 차례대로 더하여 만들어지는 수열입니다.
  2. 일반항 공식: 등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 로 구합니다.
  3. 코딩의 반복문 및 range(): 일정한 간격으로 변하는 등차수열의 논리는 파이썬 프로그래밍에서 for문이나 while문을 제어하는 가장 기본적인 인덱스 조작 원리와 동일합니다.
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