00. 인트로: 영원히 끝나지 않는 덧셈의 굴레 (Intro)

“파이썬에서 while True 무한 루프 늪에 빠지면 어떻게 되나요?” 컴퓨터 메모리가 오버플로우를 일으키고 터지며 프로그램이 강제 종료(Crash) 됩니다. 우리는 이 무한 루프의 악몽을 본능적으로 두려워하며, 반복을 할 땐 반드시 break 탈출 조건이나 for 유한 턴 횟수를 록온합니다.

1. 그런데 만약 “더하는 숫자 자체가 먼지로 변하고” 있다면?

그런데 놀랍게도 2,000년 전 그리스 철학자 제논이 상상 임신한 “무한의 굴레” 는 컴퓨터를 터뜨리지 않고 아름다운 결론으로 스스로 엔진을 멈춥니다(수렴). 그는 아킬레스와 거북이의 달리기 경주를 예시로 이런 환각을 주입했습니다.

“아킬레스가 거북이를 추월하려면, 일단 거북이가 있던 첫 위치(절반) 까지 도달해야 해. 근데 도달하고 나면 거북이도 찔끔 앞으로 나아갔네? 그럼 또 남은 거리의 절반을 달려야 하네? 또 도달하면 거북이가 또 1인치 나아갔네? 또 절반의 절반의 절반의…”

2. 먼지를 합쳐도 별이 되지 않는다

거리는 $1 \to 0.5 \to 0.25 \to 0.125 \to 0.0625 \to \dots$ 이렇게 $\infty$ 무한번 쪼개어집니다. 영원히 쪼개진 미세 먼지 시간들을 무한 번 합쳐버리니, 아킬레스는 거북이를 잡는 데 우주 영겁의 무한대 타임라인($\infty$) 시간(에러 발산) 이 걸려야 한다고 철학자들은 속았습니다.

하지만 뉴턴과 오일러, 가우스 형님들은 이 무한 루프에 “극한(Limit)” 이라는 브레이크 록을 걸고 코드를 파기해 버립니다. “야이 미친놈아. 저 먼지 쪼가리들을 루프 문으로 1억 번, 1조 번, 그래 영원히 백억 년 동안 다 더한다고 쳐! 그래도 저 루프 문의 종합 결과 타임스탬프 누적 썸(Sum) 은 결국 $2$초(유한한 숫자, 수렴) 라는 절대 유리 천장에 가로막혀서 단 1mm도 더 커지지 못하는 운명이야! 이 수학 멍청이들아!”

그 거대하고 도발적인 “무한대끼리 더했는데, 유한한 10 이나 100 같은 하찮은 숫자로 쪼그라들어 끝나버리는” 컴퓨터 로직의 마술, 급수(Series) 단원을 첫 장부터 로드해 보겠습니다.