수학이야기 65.미분1 (Derivative 1: 찰나의 스피드 해킹)

지금까지의 수학 엔진은 고정된 맵(좌표, 길이, 각도) 에서만 돌아가는 정적인 렌더러였습니다. 하지만 우주와 게임, 그리고 주식 시장은 단 1초도 멈춰있지 않습니다. 달리는 자동차의 속도는 매 프레임마다 변하고, 꺾이는 커브 길의 경사도는 수시로 오르락내리락합니다.

만약 프로그래머가 롤러코스터 레일의 “지금 당장 이 0.00…1초 순간 코너를 돌 때의 정확한 경사각 스피드” 를 알아내지 못한다면 게임 물리 엔진은 탈선하여 터져버릴 것입니다. 이 “변화무쌍하게 굽이치는 곡선의 단 $\mathbf{1}$ 픽셀 찰나의 순간 스피드(기울기)” 를 현미경으로 미친 듯이 확대해서 정밀 타격 스캔하는 기술. 이것이 바로 17세기부터 이어진 인류 최고의 해킹 툴, ‘미분 (Derivative)’ 의 탄생입니다.

이 미분 1부 단원에서는 평균 속도(할선) 가 어떻게 미친 속도로 간격을 줄여나가 찰나의 순간 속도(접선) 로 진화하는지 극한($Limit$) 렌더링 과정을 그림과 함께 파헤치고, 최후엔 파이썬 SymPy 모듈의 diff() 메서드 한 줄로 미분 엔진을 터뜨려 보겠습니다.

목차

• 00. 인트로: 과속 단속 카메라의 버그 (Intro)
• 01. 첫 번째 수업: 서울에서 부산까지, 평균 변화율 (Average Rate of Change)
• 02. 두 번째 수업: 간격을 영(0) 으로 부숴라! 순간 변화율 (Instantaneous Rate)
• 03. 세 번째 수업: 분모가 0이 되는 무한 루프 에러, 리미트($\Delta x \to 0$) 의 등장
• 04. 네 번째 수업: 할선의 붕괴와 접선(Tangent) 의 탄생 (Tangent Line Slope)
• 05. 다섯 번째 수업: 미분 계수 $f’(a)$ 와 도함수 $f’(x)$ 의 진짜 차이 (Derivative Definition)
• 06. 여섯 번째 수업: 파이썬 SymPy 치트키! 1초 만에 미분 머신 돌리기 (Python Sympy Diff)