01. 첫 번째 수업: 서울에서 부산까지, 평균 변화율 (Average Rate of Change)

순간적인 폭주(미분) 를 구출해 내려면, 가장 멍청한 베이스 알고리즘인 평균(Average) 에서부터 빌드를 타야 합니다. 고속도로 구간 단속 카메라의 로직이기도 한, “평균 변화율” 의 공식을 해킹해 봅시다.

1. 기울기 파이프라인 복습 (직선 데이터)

1차 함수(직선) 의 기울기를 구했던 공식을 머릿속 파일에서 Load 해옵니다.

• $\text{기울기 (Slope)} = \frac{\text{Y의 증가량}}{\text{X의 증가량}} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
• “야, 내가 오른쪽으로 2칸(X) 갔을 때, 고도가 4칸(Y) 올라갔다! 그럼 1칸 갈 때 2칸씩 뛴 거니까 내 기울기는 $\mathbf{2}$ 다!”

이 공식은 끝없이 뻗어 나가는 반듯한 $1$차 함수 직선 도로에서는 우주 어디서나 $100\%$ 완벽하게 적중합니다.

2. 굽이치는 곡선 포물선에서의 에러 발생

하지만, 이차함수 $y = x^2$ 밥그릇 곡선을 등반할 때는 이 공식이 버그를 뿜습니다. 내가 서울(출발점 $X=0$, 높이 $Y=0$) 에 있다가 오른쪽으로 쭉쭉 운전해서 부산(도착점 $X=4$, 높이 $Y=16$) 에 도착했습니다.

이때 멍청한 기울기 공식을 곡선에다 갈겨 볼까요?

• $\text{X의 이동시간}: 4 - 0 = \mathbf{4}$
• $\text{Y의 위치 변화량}: 16 - 0 = \mathbf{16}$
• 결과 스피드(기울기) = $\frac{16}{4} = \mathbf{4}$

“이야, 그럼 내 차는 처음부터 끝까지 영구 고정 시속 4 로 달렸구나!” 라는 헛소리가 모니터에 터져 나옵니다. 실제로 이차함수 $y = x^2$ 곡선을 보면 처음 서울(원점) 근처를 달릴 때는 땅이 평지에 가까워 시속이 거의 제로($0$) 에 가깝게 빌빌대다가… 나중 부산 끄트머리인 $X=4$ 구간으로 치솟아 올라갈 땐 에베레스트 절벽을 타듯 미친 듯이 수직 상승 가속(시속 8 이상) 을 터뜨리는 포물선(곡선 엔진) 인데도 말입니다.

3. 선을 긋고 관통시켜라. 그것이 “평균” 이다.

방금 우리가 계산한 $\text{기울기}=4$ 의 기하학적 진짜 정체는 다음과 같습니다.

“구불구불 커브가 더럽게 휜 이차함수 포물선 곡선 위를 무시하고 뚫어 버립니다. 곡선 위의 [서울 출발 점] 과 [부산 끝 점] 을 향해, 커브를 아예 두 동강으로 파괴하며 일직선 다이렉트 꼬챙이(할선, Secant Line) 를 꽂아 직진 연결해버린 시뮬레이션!”

이 할선(단순 직선 꼬챙이) 의 기울기를 가리켜, 우리는 [‘평균 변화율 Average Rate of Change’] 이라고 부릅니다.

수식으로는 거창하게 $\Delta x$ (델타 엑스, $X$ 이동 갭), $\Delta y$ (델타 와이, $Y$ 이동 갭) 라는 특수 문자를 써서 폼을 잡습니다.

$\text{할선의 평균 변화율} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

당신이 롤러코스터 시작점과 끝점에 팽팽하게 빨랫줄(할선) 을 매달고 스키 타듯 직선으로 미끄러져 내려간 전체 평균 체감 스피드를 구해낸 것입니다. 이 두터운 빨랫줄을 어떻게 한 점짜리 날카로운 레이저(접합 스파크) 로 쪼개어 버리는지, 다음 2장에서 드디어 마법이 펼쳐집니다.