01. 첫 번째 수업: 속도 계기판 바늘마저 돌아가는 스피드, 이계도함수 $f’‘(x)$
앞서 말했듯 이계도함수(Second Derivative) 는 1차 치트 함수를 또 한 번 미분해 얻어낸 괴물입니다. 이 녀석의 수학 기호와, 진짜 프로그래밍 세계 논리 텝스를 엮어 봅시다.
1. 두 번의 대시($\mathbf{‘’}$) 마크
- 오리지널 맵 3D 폴리곤 기본 지형 높이 그래프: $\mathbf{f(x)}$ (위치 거리 센서)
- 1번 믹서기로 스캔 돌린 1차 미분 속도 지형 센서: $\mathbf{f’(x)}$ (Velocity 스피드 계기판)
- 2번 연속 믹서기로 스캔 돌린 2차 미분 가속도 지형 센서: $\mathbf{f’‘(x)}$ (Acceleration 중력 압박 가속도 센서)
수학자 데카르트, 라이프니츠 형님들이 만든 프랙탈 표기법으로는 이렇게 씁니다.
$f’‘(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{d}{dx} f(x) \right)$ ($d$ 가 두 번 씹혔다는 소리입니다!)
2. 렌더링 치트 실습: $f(x) \to f’‘(x)$
이 미친 더블 미분 칼날이 어떻게 다항식을 무자비하게 썰어버리는지 $3$차 방정식 몬스터로 시뮬레이션해 보죠.
- 오리지널 맵: $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x$
[Stage 1: 1차 미분 가동!] (지수 $n$ 떨구기 차수 너프!)
- $f’(x) = 3x^2 - 8x + 5$ $\rightarrow$ 축하합니다. 이차함수(포물선) 모양의 ‘스피드 계기판 자판기’ 를 획득하셨습니다.
[Stage 2: 2차 미분 더블 어택!!] (아까 남은 $f’(x)$ 를 제물로 삼아 한 번 더 떨구기!)
- $f’‘(x) = 6x - 8$ $\rightarrow$ 최종 스캔 완료! 이제 1차 함수(직선) 형태의 ‘중력 압력 가속도 자판기’ 가 드랍되었습니다.
3. 이계도함수가 뱉어내는 긍정(+) 과 부정(-) 의 진실
이 $f’‘(x)$ 라는 자판기는 우리에게 무엇을 하소연하고 있는 걸까요? 우리가 길을 걸어가는데 속력 $f’(x)$ 가 플러스(+) 값이면 “나 지금 앞(오른쪽) 으로 걸어가고 있어!” 였습니다.
그렇다면 두 번 미분한 $\mathbf{f’‘(x)}$ 가 플러스($\mathbf{+}$) 양수라는 뜻은?
“내 발속도(스피드) 가 점점 커지고(증가하고) 있다는 뜻이야! 시속 $10 \to 20 \to 50$ 으로 부스트 온 액셀을 밟아 조지느라 원심력이 모니터 밖 나를 향해 튀어나올 듯이 몸이 뒤로 쏠리는 폭주 가속 엔진 상태야!”
반대로 $\mathbf{f’‘(x)}$ 가 마이너스($\mathbf{-}$) 음수라는 뜻은?
“내 스피드 엔진 바늘이 점점 내려앉아(감소) 수그러들고 있다는 뜻이야! 시속 $100 \to 50 \to 10$ 으로 콱! 급정지 브레이크 패드가 마찰열을 시뻘겋게 내뿜어서 몸이 앞으로 콱 꼬라박히는 감속 렌더링 충격파 상태야!”
이 가속(+) 과 감속(-) 엔진의 중력 센서 데이터를 2D 곡선 그래프 그림 렌더링으로 덧칠하면, 곧 “밥그릇 모양 위보기 골짜기냐? 아니면 엎어진 우산 모양 터널 산등성이냐?” 를 결정짓는 곡률(Concavity) 마법이 완성됩니다. 2장으로 갑시다.