04. 네 번째 수업: 1초당 떨어지는 HP 배터리 게이지, 변화율 (Related Rates)
게임에서 당신의 캐릭터가 독 구름(Poison Cloud) 안에 잘못 발을 디뎠습니다. 체력 HP 바의 데미지 로그가 이렇게 뜹니다. “매 시간 $t$ 초가 흐를 때마다, 내 체력 $H(t)$ 의 게이지 막대가 초당 $-5$ HP 씩 토막 나며 증발하고 있다!”
이 “어떤 수치 덩어리가 시간에 따라 줄어들거나 팽창하는 1초당 변화 스피드 폭” 을 기하학에서는 시간에 대한 변화율 (Rate of Change with respect to Time) 이라고 부릅니다. 지금까지 우리가 주구장창 해온 칼질 미분! “무릎 반사 수준으로 해당 덩어리 함수 공식을 $\mathbf{t}$ 로 한 번 미분 $\mathbf{diff()}$ 치면 무조건 튀어나오는 스피드 결괏값” 입니다.
1. 반지름이 커지면 면적은 미친 듯이 뻥튀기된다!
호수에 작은 조약돌을 퐁당! 던졌습니다. 둥그런 동심원 물결이 1초에 우동 사리 굵기 $2\text{cm}$ 씩 테두리가 팽창하며 커지고 있다고 칩시다.
- 반지름 배율 스피드: 반지름 $\mathbf{r}$ 의 초당 변화율 = $\mathbf{2 \ (\text{cm/s})}$
근데 수학자가 심술궂게 팩폭 질문을 꽂습니다.
“야, 테두리가 1초에 2cm 슬금슬금 커지는 건 알겠는데. 그럼 저 둥그런 물결 파동의 [전체 면적 스킬 범위 (넓이 Area)] 는 $1$초당 얼만큼의 어마어마한 평수 배율로 무식하게 뻥튀기 확장 가속되고 있는 거냐? 넓이의 팽창 변화율 스피드($S’$) 를 불어봐!”
2. 해킹 매크로: “무식하게 면적 함수 설계하고 미분 칼질!”
원의 면적을 구하는 이데아 공식이 뭡니까? 파이 알 제곱! $\mathbf{S = \pi \cdot r^2}$ 근데 여기서 반지름 $r$ 이 이젠 멈춰있는 고정막대가 아니라, 1초마다 $2$씩 커지는 시간차 유기체죠? 그걸 $1$차 함수 껍데기로 세팅합니다. $\mathbf{r(t) = 2t}$ (1초면 2, 2초면 4, 3초면 6 쑥쑥 자라남)
자, 그럼 이 유기체 $r(t)$ 파츠를 그대로 원의 넓이 $S$ 가마솥 공역에 대입 체인 콤보를 쑤셔넣습니다!
- 넓이 오리지널 뼈대 $\mathbf{S(t) = \pi \cdot (2t)^2}$
- 오리지널 우주 제곱 팽창: $\mathbf{S(t) = 4\pi \cdot t^2}$ (이게 저 미친 물결 파동이 시간당 면적을 쳐먹는 거대 사이즈 공식입니다.)
- $\downarrow$ 면적 팽창 스피드를 구하라굽쇼? 무조건 미분(Diff)! $\downarrow$
- 도함수 자판기 뽑기: $\mathbf{S’(t) = 8\pi \cdot t}$
끝! 이 $S’(t)$ 코드가 바로 “이 물결 마법 장판 테두리가, 처음 던지고 나서 몇 초가 흘렀을 때, 1프레임 찰나마다 얼만큼의 피투성이 평수(면적) 를 무지막지하게 집어삼키는지 스피드 오버클럭 렌더링을 계산해 주는” 우주 최강 변화율 레이더 방정식입니다.
- 던진 지 1초 일 때의 장판 팽창 스피드: $S’(1) = 8\pi$ 평수 팽창!
- 던진 지 10초나 흘렀을 때 팽창 스피드: $S’(10) = 80\pi$ 평수 팽창! (미친 블리자드 스케일 폭주 확장!)
이 “수식 하나만 잘 모델링해서 세워 두면, 그 수식 덩어리에 derivative 미분을 쾅 치는 순간! 뭐든지 그 덩어리가 시간에 따라 부푸는(또는 녹아내리는) 찰나의 폭주 가속 스피드 속도를 스캔할 수 있다” 는 논리가 미분의 가장 아름다운 실무 현장 해킹입니다. 다음 최적화 맵으로 이어집니다.