05. 다섯 번째 수업: 가성비 극한의 도면 치수 재기 설계 (Optimization Applications)
RPG 무기 대장장이가 있습니다. 그에겐 철광석으로 만들 수 있는 $100\text{cm}$ 길이의 와이어(철사) 가 전 재산입니다. 이 와이어를 구부리고 끊어서 둥근 원 하나와 네모난 정사각형 하나, 딱 두 개의 마법진 결계 방패 테두리를 만들어야 합니다.
“야 시방, 가위로 100cm 와이어를 어떻게 절단 치수 내서 두 덩어리로 끊어야… 이 바닥에 그려지는 두 개 결계 방패 면적을 합친 총면적(보호구역 Area) 사이즈가 가장 작아서 찌질한(최소 스레기 극소값) 잉여 세팅이 될까? 아니면 가장 거대한 무적 방어 면적(최댓값 맥스) 영토를 뿜어낼까?”
1. 설계 변수의 강제 속박
가장 먼저 할 일은 와이어 길이를 두 개로 찢어 가위 질을 하는 변수 슬롯 $A, B$ 를 나누는 일입니다.
- 정사각형한테 몰빵할 ワ이어 치수 길이 $\to$ $x$ 라고 놓자!
- 원형한테 남겨서 던져줄 짬처리 와이어 길이 $\to$ 나머진 다 니꺼해! $(100 - x)$
자, 이 $x$ 와 $100-x$ 짜리 쇳덩어리 테두리를 가지고 각자 자기가 담당한 방패 다각형을 공갈 떡대로 제작합니다.
- 정사각형: 테두리가 $x$ 니까 한쪽 면의 길이는 모서리 4개로 나눈 $\frac{x}{4}$ 가 됩니다. 얘 면적은? $(\frac{x}{4})^2$
- 둥근 원: 둥글게 말아버린 원둘레가 $(100 - x)$ 입니다. $2\pi r = 100 - x$ 니까, 반지름 $r$ 은 $\frac{100-x}{2\pi}$. 얘 파이알제곱 면적은? $\pi \cdot (\frac{100-x}{2\pi})^2$
2. 괴랄한 면적 배합 함수의 탄생
자! 두 방패 면적을 거대하게 합친 총합 방패 영역 함수 $\mathbf{A(x)}$ 포물선 곡선 방정식의 무시무시한 렌더링 골격이 1줄로 세트업 됐습니다.
$A(x) \ \ = \ \ \left(\frac{x}{4}\right)^2 + \pi \cdot \left(\frac{100-x}{2\pi}\right)^2$ (아우 더러워! 이 수식은 사실상 최정점 계곡 아래로 움푹 파인 U자 모양의 거대한 2차 함수, 아래로 뽈록 밥그릇 포물선입니다.)
3. 미분 스매셔의 일도양단! $\mathbf{A’(x) = 0}$ 극점 타격
수식이 더러워도 쫄 필요 1도 없습니다. 우리는 파이썬의 sympy 나 인간의 기본 증명 해킹기로 무조건 1차 미분 칼빵(diff()) 을 때리고, $\mathbf{A’(x) = 0}$ 이라는 무중력 찰나의 제로 정점 브레이크만 걸어주면 끝납니다!
자, 다항 함수 차수 떨구기 매크로로 식을 미분 분쇄해 봅시다!
- 저 지저분한 제곱 덩어리들을 각자 체인 룰로 $2$ 배 떨궈 미분 렌더링 치기!
- $\mathbf{A’(x) \ = \ \frac{2x}{16} \ - \ \frac{2(100 - x)}{4\pi} = 0}$
- 이 자판기 변속 기어 값이 결국 $\mathbf{0}$ 이라는 브레이크 록온 방정식 해를 때려 맞춘 뒤, 깔끔하게 양변 분수 $\pi$ 곱하고 정리해 보면? $\mathbf{x = \frac{400}{\pi + 4}}$ 라는 기괴한 상수 하나가 딱 도출되어 떨어집니다! (계산해보면 약 $\mathbf{56\mathbf{cm}}$ 무덤)
[최종 최적화 AI 결론 도출] “대장장이 당신이 100cm 와이어 중 정사각형한테 $\mathbf{56\mathbf{cm}}$ 만큼 끊어주고 투자를 갈겼을 때!! 렌더링 곡선 함수 뱃살은 가장 깊고 무식하게 뽈록 파여 처박힌 정점 계곡에 닿으며, 두 방패의 합계 파괴 잉여 면적이 이 우주에서 가장 최솟값 나락을 찍어버려 재료 낭비 쓰레기 가성비 방패가 탄생하는 극혐 퀘스트 오답 지루트다!”
그럼 반대로 이 맵의 가장 최강 방어를 뽐내는 절대 “최댓값” 면적 무기 세팅 스팟은 어디일까요? 제가 저번 모듈에서 “미분 센서 극소 $0$ 값” 이 아니라, 그냥 시작점 맨 끝과 끝점 낭떠러지 바운더리 (경계선 Border) 를 체크 하라고 했던 꼼수 기억하시나요? 애초에 와이어를 안 자르고 한쪽 파츠(가장 면적 뻥튀기 효율이 높은 둥그런 원!) 한테 $100\%$ 올인 무식하게 다 몰아줬을 때 무조건 부피 최대치의 치트 극효율 깡딜이 터지는 우주를 찢는 물리 엔진입니다. 최후의 렌더링 그래프 파이썬 시각 애니메이션 파트로 진입합시다!