06. 여섯 번째 수업: 파괴된 정보의 복구비용 $C$ (Indefinite Integrals)

미분의 스킬을 역재생(되감기)해서 적분(면적 함수)을 알아내는 ‘역도함수’ 풀이법엔 심각한 데이터 손실(Data Loss) 버그가 존재합니다.

1. 누가 미분해서 $2x$가 되었나의 다중우주

어떤 문제에 미분 결과 파편이 “$2x$”라고 적혀 있었습니다. 우리는 앞선 수업에서 “미분해서 $2x$가 되는 건 오리지널 함수 $x^2$ 이잖아!” 라고 자부심 넘치게 대답했습니다.

그런데 누군가가 갑자기 딴지를 겁니다.

• “잠깐만요, $x^2 + 5$ 를 미분해도 어차피 숫자(상수) 5는 흔적도 없이 사라져서 기울기가 $2x$ 가 되잖아요?”
• “제 생각엔 $x^2 - 100$ 을 미분한 것 같은데요? 상수 $-100$도 증발 속도가 $0$이니까 결국 $2x$ 잖아요.”
• “파이($\pi$) 같은 상수 기호를 써서, $x^2 + 3.141592$ 도 미분하면 $2x$ 가 맞습니다!”

대재앙입니다. 미분(순간변화율 쪼개기)을 진행하는 과정에서, 변하지 않는 고정된 숫자(상수항)는 잴 수단이 없는 ‘변화량 0’ 취급을 받아서 영구적으로 삭제(Delete) 되어버린 것입니다. 우리가 이 삭제된 미분 데이터를 다시 줍어 담아 거꾸로 역으로 적분을 해보려고 해도, 원본 데이터베이스에서 애초에 무슨 숫자(5? -100?)가 붙어있었는지 알아낼 방법이 완전히 사라져 버렸습니다.

2. 알 수 없는 숫자, 적분 상수 $C$

우주 어디에도 날아간 꼬리 숫자를 찾을 기록이 없으므로, 수학자들은 겸허하게 패배를 인정(?)하고 “어떤 상수가 붙어있었을 것이다”라는 미지의 임의 변수를 뒤에 영수증 꼬리표처럼 하나 붙여주기로 약속했습니다. 이 꼬리표 기호를 바로 거대한 상수(Constant) 라는 뜻의 알파벳 $C$ 로 정의합니다.

이처럼 “시작 구간과 끝나는 구간 값이 없고(정적분이 아님), 미분 파편만 보고 원래의 함수 덩어리를 몽둥이 째로 복구해 내라고 명령하는, 그저 함수식 도출 그 자체식”을 ‘부정적분(Indefinite Integral)’ 이라고 부릅니다.

• $\int$ 꼬부랑 기호 위아래에 $\int_a^b$ 처럼 구간 숫자가 없습니다. “정해지지(Definite) 않은 적분” 이라는 뜻이죠.
• 정적분이 ‘딱 떨어지는 실수 범위 숫자값 면적($8$, $0.33$ 등)’ 이라면, 부정적분은 정보가 일부 파괴된 채 복구된 원래 함수 식(치트키 함수식) 입니다.

수학 교과서 뒤편 문제집에 나온 부정적분을 죽어라 풀다가 이 거대한 알파벳 $C$ 를 안 적으면, 채점하는 선생님은 사정없이 감점(틀림)을 때려 버립니다. 파괴된 데이터의 가능성을 무시하고, ‘오만하게도’ $C$ 의 자리가 $0$ 이었을 거라고 마음대로 단정 지은 거만한 태도이기 때문입니다.

3. 초기 상태(Initial Condition)의 중요성

이 적분 상수 $C$ 는 물리학이나 게임 물리 엔진(Physics Engine)에서 엄청나게 중요하게 다뤄집니다. 예를 들어 자동차의 가속도와 속도 곡선만 알아서는 이 자동차가 “정확히 어느 위치(서울인지, 부산인지)”에 주차되어 출발했는지 위치 정보를 모릅니다.
이때 “시간이 $0$ 일때(초기 상태), 자동차의 좌표 위치는 어디였습니다” 라는 $t=0$ 초기 단서(데이터 한 조각) 하나만 주어지면, 날아갔던 미지의 상수 $C$ 가 갑자기 뿅 하고 선명한 숫자($5$, 혹은 $-100$)로 암호 해독되어 밝혀지게 됩니다.

다음 단원에서는 파이썬 스피드미터를 통해 이 상수 $C$ 가 물리학과 코드 안에서 어떻게 작동하여 위치(거리 정보)를 뽑아내는지 확인해 보겠습니다.