책머리에

세상 진리를 수학으로 꿰뚫어 보는 맛 그 맛을 경험할 수 있는 ‘리만의 적분’ 이야기

‘미분’ 과 ‘적분’ 이 수학사에 등장한 것은 뉴턴과 라이프니츠에 의해서입니다. 그 후 ‘미적분’ 은 대부분의 수학 주제 속에 등장하고 있습니다. 사칙연산과 고등수학뿐만 아니라 경제학이나 공학에서도 미적분을 이용한 이론 전개가 당연시되고 있습니다.

그런데 수학을 공부하는 많은 학생들이 미적분을 어려운 과목이라고 불평합니다. 이유는 크게 두 가지로 볼 수 있습니다. 첫째, 미적분 자체가 어려운 학문이라기보다 미적분의 이해를 위해 미리 알고 있어야 할 수학 지식이 많다는 것입니다. 미적분이 고등학교 2, 3학년 교과에 등장하는 것은 이전 10~11년 간의 수학 지식이 필요하다는 반증입니다. 둘째, 미적분의 학습 방법입니다. 많은 학생들이 미적분의 공식을 암기해서 답을 구하는 것에만 열중합니다.

어떤 학문을 공부할 때에는 그 학문을 능숙하게 다루는 것도 중요하지만 그 학문이 등장하게 된 배경이나 필요성을 아는 것도 중요합니다. 이는 배우고자 하는 학문을 거부감 없이 대할 수 있는 여건을 마련하고, 학습의 동기를 부여합니다. 또한 적분 속에 담긴 수학자들의 노력을 체험하고, 그들의 발자취를 따라 함께 공부함으로써 수학에 담겨진 자연의 이치를 알 수 있습니다.

이 책에 적분의 계산법은 등장하지 않습니다. 간혹 수업 진행을 위한 계산이 등장하기는 하지만 수업을 이끌어 가는 보조 도구로 제한했습니다. 계산보다는 적분 속에 담긴 수학자들의 고민과 문제 해결 과정을 알아보는 데 더 중점을 두었습니다. 특히 ‘도형의 넓이 구하기’ 를 통해 적분이 등장할 수밖에 없었던 배경을 설명했습니다.

그리고 적분이 어느 시대에 갑자기 등장한 천재들의 작품이 아니라 수많은 수학자의 고민과 수학적 문제 해결 기법의 발전에 따른 역사적 산출물임을 느낄 수 있도록 했습니다. 때문에 일곱 시간의 수업 대부분은 수학 지식이 많이 없어도 쉽게 이해할 수 있도록 서술했습니다. 하지만 중학교 수학 과정에서 등장하는 함수와 그래프에 대한 이해는 필요합니다. 세 번째 수업 시간은 함수와 그래프의 지식이 없다면 다소 어려울 수 있습니다. 적분을 설명하는 데 필수적인 수학 도구는 예를 통해 직관적으로 알 수 있도록 했습니다.

마지막으로 리만이 체계적으로 개선한 ‘리만 적분’ 을 설명하고 있기 때문에 미분을 배우지 않고도 적분에 접근할 수 있도록 수업이 이루어집니다.

자연을 이해하고 해석하려는 수학자들의 노력을 함께 느끼고, 수학의 다양한 측면을 볼 수 있는 시간이 되었으면 합니다.

2007년 11월 차 용 욱