첫 번째 수업
적분이란 무엇인가?
적분은 한자 뜻 그대로 풀이하면 ‘부분을 쌓다’로 즉 ‘나눈 부분을 모으는 행위’입니다. 수학이나 다른 과학 분야에서는 적분을 이용하여 문제를 해결하는 경우가 많습니다.
첫 번째 학습 목표
- 넓이란 무엇이며, 옛날 사람들이 왜 넓이를 구하려 했는지 알아봅니다.
- 다각형의 넓이를 구하는 방법에 대해 알아봅니다.
- 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는 공식이 있는지 의문을 가져 봅니다.
미리 알면 좋아요
넓이 단위 $m^2$ ‘제곱미터’라고 읽으며, 한 변의 길이가 $1m$인 정사각형의 넓이는 $1m^2$입니다.
리만이 첫 번째 수업을 시작했다
안녕하세요? 저는 ‘리만’ 입니다. 여러분을 만날 수 있어 매우 기쁩 니다. 제 이론은 대부분 대학에서 배우게 됩니다. 하지만 고등학교 과정에서도 제가 관여한 분야가 나옵니다. 바로 적분입니다.
적분의 종류는 많지만 고등학교에서 배우는 적 분은 뉴턴과 라이프니츠가 발명한 것을 제가 일반 화한 ‘리만 적분’ 입니다. 여러 종류의 적분이 있지만 결괏값은 모두
같습니다. 혼란을 피하기 위해 고등학교 과정에서는 포괄적으로 ‘적 분’ 이라고 소개하고 있습니다.
첫 시간에는 먼저 적분이란 무엇인지부터 알아보겠습니다
어떤 분야를 처음 공부할 때 그 분야에 나오는 용어와 친해지는 것 이 무엇보다 중요합니다. 특히 수학 용어는 우리가 보통 사용하는 일 상 용어와는 다르기 때문에 더더욱 그렇습니다.
적분은 한자입니다. ‘쌓다’ ‘모으다’의 뜻을 가진 적 積 ‘나누다’ ‘부분’이라는 뜻의 분 分
한자의 뜻 그대로 풀이하면 ‘부분을 쌓다’, 즉 ‘나눈 부분을 모으 는 행위’ 입니다. 수학이나 다른 과학 분야에서 적분을 응용하여 문제 를 해결하는 경우가 많습니다. 그만큼 적분의 쓰임새는 매우 광범위 합니다. 그중에서도 가장 많이 쓰이는 분야는 도형의 넓이 구하기입 니다.
원리는 간단합니다. 어떤 도형의 내부가 차지하는 넓이가 얼마인 지 알고 싶다고 합시다. 그 도형의 내부를 여러 개의 도형으로 채웁 니다. 다 채워지면, 그 도형의 넓이를 직접 구하는 대신 여러 개의 도 형의 넓이를 구해 더합니다. 즉, 적분은 부분의 합으로 전체를 구하 는 원리를 이용하여 넓이를 구하는 방법입니다.
그런데 좀 이상하지 않나요? 그 어렵다는 적분을 기껏 도형의 넓이 를 구하는 데 쓰다니, 쉬운 것을 너무 어렵게 접근하는 건 아닐까요? 도형의 넓이 구하기가 ‘쉽다’ 고 여겨집니까? ‘넓이’ 는 우리에게
(만화)
“이 항아리의 부피를 구할 수 있겠니?”
“항아리의 부피를 구할 방법을 도저히 못 찾겠어요.” “적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있단다.”
“적분요??” (적: 성 쌓을 적, 분: 나눌 분) “적분이란 ‘작게 나눈 것을 모으다’는 뜻이란다. 이렇게 말이야!” (항아리에 모래를 채움)
“항아리 속에 가득 담겨 있던 모래의 부피를 구한 후 모두 더하면 바로 항아리 부피겠지!” “이 부피는 가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이로 쉽게 구할 수 있네요.”
친숙한 수학 용어입니다. 넓이를 구하는 방법은 몰라도 넓이가 무엇 인지는 대강 알고 있을 것입니다. 그만큼 넓이는 매우 익숙하게 다가오고, 익숙하니까 쉽게 값을 구할 수 있다고 생각하는 것이지요. 도형을 보면 그 내부가 보입니다. 그 내부는 물론 넓이를 갖겠지요.
(만화)
친구: “헥헥~ 달리다 말고 뭐해? 우선 뛰기부터 해!” 주인공: “갑자기 지금 달리고 있는 운동장의 넓이가 궁금해졌어.”
이번에는 우리가 매일 등교하는 학교의 운동장을 생각해 봅시다. 운동장을 보면서 운동장의 넓이가 얼마일까 생각해 본 적 있나요? 매일 운동장을 보고 이용하지만 그리고 운동장의 넓이는 어쨌든 있 겠지만, 그 넓이를 구하는 것은 어려운 문제입니다. 우리는 때때로 너무나 익숙한 것은 그 소중함을 잊곤 합니다. 물이나 공기처럼 말 입니다. 넓이도 마찬가지입니다.
넓이가 있다는 것과 넓이를 구할 수 있다는 것은 엄연히 다른 문제 입니다. 넓이를 구한다는 것은 존재하고 있는 넓이의 값을 한 치의 오차도 없이 수치로 표현하는 것을 말합니다.
넓이란 평면이나 곡면 위에서 주어진 물체나 도형의 크기를 수치 로 나타낸 것을 말합니다. 한자어로는 면적이라고도 하지요. 그런데 어떤 부분의 크기, 즉 넓이가 ‘2’ 라는 것은 과연 무슨 뜻일까요?
먼저 쉬운 것부터 차근차근 해결해 나갑시다
넓이가 존재하려면 도형의 모양은 어떠해야 할까요? 다음 그림처 럼 뚫려 있거나 선이 교차하는 도형은 내부가 없거나 내부를 정확히 구분하기 힘들기 때문에 넓이를 구하는 것이 의미가 없습니다.
(도형 그림: 선 열렸거나 꼬인 도형들) 넓이를 구할 수 없는 도형들
옛날 수학자들은 아래 그림처럼 도형의 경계가 평면을 두 부분, 즉 도형의 내부와 외부로 나눌 수 있어야 넓이가 존재한다고 말했습니 다. 우리도 도형의 넓이를 구한다고 할 때는 아래 그림처럼 내부가 있어 그 넓이가 존재하는 도형만을 가정합니다. 그리고 도형 내부의 넓이를 간단히 도형의 넓이라고 부릅니다.
(도형 그림: 별, 삼각형, 사각형, 원) 내·외부 구분이 명확해서 넓이를 구할 수 있는 도형들
최초로 넓이를 계산한 나라는 이집트입니다. 물론 문자의 기록을 시작한 나라도 이집트입니다. 점차 사람들이 모여 살게 되면서 넓이
를 구할 필요가 생겼겠지요. 특히 농경 사회에서 밭의 크기, 즉 밭의 넓이를 재는 일은 매우 중요했습니다. 자신이 소유한 땅의 넓이를 알 고 싶다는 개인적인 희망도 있었겠지만, 같은 넓이의 밭이라면 수확 물의 양도 거의 비슷하니까 추수해서 거둬들일 곡식의 양 또한 예측 할 수 있었습니다. 예를 들어 $1m^2$ 넓이의 땅에서 쌀 $50kg$을 수확했 다면, $10m^2$의 땅에서는 쌀 $500kg$을 수확하겠지요.
옛날에도 지금처럼 국민들에게서 세금을 거두어들였습니다. 대부
(만화)
“음$\dots$” (문서를 보는 파라오)
징수원: “당신은 세금으로 금화 5냥” 징수원: “당신은 세금으로 금화 10냥을 내시오.” (당황하는 농부)
파라오: “당신 땅이 이 사람 땅보다 훨씬 길잖아!” 신하: “긴 건 크다는 뜻이죠.” 농부: “이 사람의 땅과 제 땅에서 나는 곡식의 양이 같은데 저만 세금을 2배로 내라니요?”
농부: “이것 봐요. 어, 같잖아!” (격자무늬로 땅의 넓이가 $\square \times 49$ 로 같음을 증명함)
분의 국민들은 농사를 지었는데요, 정부는 경작하는 땅의 넓이를 기 준으로 일정량의 쌀을 걷는 방식을 택했습니다. 따라서 넓이를 정확 히 재는 것은 공평한 조세 부담과 직결되는 중대한 문제였습니다.
자, 이제 여러분이 이집트 정부에 소속된 논의 넓이를 재는 수학자 라고 합시다. 지금부터 세금 징수원과 함께 세금을 걷으러 다닐 것입 니다. 논의 넓이를 징수원에게 가르쳐 준 후 세금으로 낼 쌀의 양을 계산할 수 있게 도와주는 것이 여러분의 일입니다.
여러분은 다양한 모양의 논을 만나게 되겠지만 넓이를 구하는 것 은 약간의 도형 상식만 있다면 어려운 일이 아닙니다.
(만화)
아이: “어느 건물이 더 넓은 거지?” (부피가 같은 여러 개의 블록 건물을 바라보는 아이들) 수학자: “같은 크기로 나눠서 보면 어느 쪽이 넓은지 쉽게 구분할 수 있지.” (건물을 정육면체 블록 단위로 나누어 생각하는 모습)
여려분이 세야 할 것은 한 변의 길이가 1인 정사각형입니다. 이 정 사각형을 우리는 단위정사각형이라고 합니다. 넓이의 기준이 되기 때문이지요. 이 사각형의 넓이는 1입니다. 편의상 단위는 생략하겠 습니다.
A 농부의 땅은 가로 3, 세로 2의 직사각형 모양 을 하고 있습니다. 넓이를 재기 위해 먼저 직사각 형의 내부에 단위정사각형을 ‘타일 붙이듯이’ 채 워 나갑니다. 빈틈없이 꽉 채워질 때까지 타일 붙이기를 계속하니, 이 직사각형을 채우는 데 모두 6개의 단위정사각형이 필요했습니다. 그래서 이 땅의 넓이가 6이라고 알려 주었습니다.
넓이 재기의 기본은 단위정사각형으로 도형의 내부에 타일 붙이기 를 한 후 그 타일의 개수를 세는 것입니다.
(그림: 가로 3, 세로 2의 직사각형) 가로 3, 세로 2의 직사각형
(그림: 단위 타일 6개로 채워진 직사각형) 타일 붙이기를 한 직사각형
물론 단위정사각형으로는 내부를 꼭 맞게 채울 수 없는 직사각형 도 있습니다. 가로와 세로의 길이가 각각 1.5, 0.5인 경우인데요, 이 경우 크기와 모양이 같은 직사각형을 여러 개 붙여서 타일 붙이기가 가능한 직사각형으로 만들어 봅시다.
(그림: 가로 1.5, 세로 0.5인 직사각형)
위의 직사각형의 넓이를 구하기 위해 아래처럼 같은 모양의 직사 각형 3개를 붙여서 큰 직사각형으로 만들어 보겠습니다.
(그림: 주어진 직사각형 4개를 합쳐 가로 $1.5 \times 2=3$, 세로 $0.5 \times 2=1$ 인 큰 직사각형을 만든 모습, 책 본문에는 ‘3개를 붙여서’라고 서술되어 있음)
그러면 4개의 직사각형이 합체된 큰 직사각형의 넓이를 구할 수 있
습니다. 3개의 단위정사각형으로 큰 직사각형의 내부를 타일 붙이기 할 수 있습니다. 따라서 큰 직사각형의 넓이는 3입니다.
그런데 우리가 구하는 대상은 작은 직사각형이죠. 작은 직사각형 4 개가 모여서 넓이가 3인 도형이 됐으니 작은 직사각형의 넓이는 $\frac{3}{4}$, 즉 $0.75$입니다. 이때 $0.75 = 1.5 \times 0.5$, 다시 말해 ‘가로 길이와 세로 길이의 곱’ 입니다.
여기서 넓이를 재는 수학자는 직사각형의 넓이에 일정한 패턴이 있다는 것을 알게 됩니다. 그 일정한 패턴을 식으로 만든 것이 공식 입니다. 직사각형의 넓이 공식은 다음과 같습니다.
직사각형의 넓이 = 가로 $\times$ 세로
(그림: 가로와 세로가 명시된 직사각형 넓이) 직사각형의 넓이 = 가로 $\times$ 세로
이제 직사각형 모양의 밭은 모두 넓이를 계산할 수 있습니다. 그럼 도형의 넓이가 ‘2’라는 것은 무슨 뜻일까요? 타일 붙이기를 연상하 면 쉽게 유추할 수 있습니다. 단위정사각형의 넓이보다 2배 크다는 의미로 모양은 상관없습니다.
B 농부의 땅은 밑변이 10, 높이가 8인 삼각형 모양입니다. 고민인 것은 단위정사각형으로 타일 붙이기 하는 것으로는 삼각형의 내부를 채울 수 없다는 점입니다. 그래서 방법을 약간 달리했습니다. 아래와 같이, 삼각형은 높이로 인해 두 조각이 나는데 그 조각난 도형과 같 은 크기 모양의 조각을 $180^\circ$ 회전하여 원래의 삼각형에 붙였더니 직 사각형이 되는 것입니다.
결국 B 농부의 땅 넓이는 가로 10, 세로 8인 직사각형의 넓이의 반, 즉 40이 됩니다.
(그림: 밑변 10, 높이 8인 삼각형의 빈 공간을 회전 이동을 통해 채워 직사각형으로 만드는 모습)
역시 삼각형의 넓이에도 다음과 같은 공식을 만들 수 있습니다.
삼각형의 넓이 = $\frac{1}{2} \times$ 직사각형의 넓이 ** = $\frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$**
(그림: 직사각형 안에 꽉 찬 내접 삼각형에서 밑변과 높이를 표시한 그림)
C 농부의 땅은 다음과 같이 복잡한 다각형 모양을 하고 있습니다. 하지만 어렵지 않습니다.
(그림: 일반적인 오각형 형태의 평면 도형 그림)
다각형의 넓이는 삼각형의 넓이를 이용하여 구할 수 있습니다. 다 각형에 몇 개의 대각선을 그음으로써 그 내부를 여러 개의 삼각형으
로 분리할 수 있습니다. 오각형 모양인 C 농부의 땅 넓이는 세 삼각 형의 넓이를 합하면 됩니다.
이제 도형의 넓이를 재는 데 어려움이 없어 보입니다. 하지만 D 농 부의 땅을 보고는 그만 낙담하고 말았습니다. D 농부의 땅은 지름이 9m인 원형이었던 것입니다. 게다가 E 농부의 땅은 타원 모양, F 농 부의 땅은 그야말로 경계가 중구난방이었습니다.
(그림 1: 지름 9m가 표시된 원) D 농부의 땅
(그림 2: 타원 도형) E 농부의 땅
(그림 3: 찌그러지고 구불구불한 닫힌 곡선 도형) F 농부의 땅
곡선을 경계로 하는 도형의 내부를 단위정사각형으로 꽉 채울 수 는 없을 것입니다. 곡선과 직선은 모양 자체가 다른 대상이니까요.
그렇다고 삼각형처럼 조각내어 붙여도 도형을 꽉 채울 수는 없을 것 같습니다. 그래서 수학자는 궁 여지책으로 넓이의 근삿값과 비슷한 넓이의 정사 각형을 산출해서 구했습니다.
(만화)
땅투기꾼: “오늘은 또 누굴 속여서 땅을 사 볼까?”
땅투기꾼: “이 땅은 $300m^2$이니 까 300만 원을 주겠소.” 농부: “300? 300제곱미터보다는 넓어 보이는데 알 수가 있어야지.”
수학자: “땅을 정사각형 모양으로 바꾸면 쉽게 넓이를 구할 수 있어요.” (격자무늬로 측량하며)
농부: “이 사기꾼! 300제곱미터가 넘잖아!” 땅투기꾼: “제길 걸렸다!” (도망감)
다음은 이집트에서 사용한 원의 넓이 공식입니다.
(그림: 원과 지름이 표시된 형태)
$\text{원의 넓이} = \left{(\text{지름}) \times \frac{8}{9}\right} \times \left{(\text{지름}) \times \frac{8}{9}\right} = \left{(\text{지름}) \times \frac{8}{9}\right}^2$
앞의 공식의 맨 끝 위쪽에 위치한 첨자 2는 중괄호 안의 값을 2회 곱하라는 수학 기호입니다. 우리말로는 ‘제곱’이라고 읽습니다. 이 공식으로 D 농부의 땅 넓이를 구하니 $64m^2$가 됐네요. 여러분이 원의 넓이에 조금만 관심을 가지고 있다면, 이 값은 참값이 아니라는 것을 단번에 느낄 것입니다. 실제 넓이는 $63.6172\dots m^2$입니다.
그러나 E, F 농부의 땅 넓이는 지금까지의 방법으로는 계산할 도리 가 없습니다. 뭔가 특별한 게 필요합니다.
다음 시간에는 원의 넓이를 잴 수 있는 특별한 공부를 하겠습니다.
첫 번째 수업 정리
1 넓이란 평면상에서 주어진 부분의 크기를 수치로 나타낸 것을 말 합니다.
2 적분의 시초는 도형의 넓이 구하기였습니다.
3 직사각형의 넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로
4 삼각형의 넓이 $= \frac{1}{2} \times \text{직사각형의 넓이}$ $\quad \quad \quad \quad \quad = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$
5 삼각형, 사각형 같은 다각형의 넓이는 공식으로 쉽게 구할 수 있지 만, 곡선으로 된 도형의 경우에는 넓이를 구하는 방법이나 공식을 만들기가 쉽지 않습니다.
(그림: 생각하는 수학자 그림)