(그림: 숫자 3과 도마뱀 형태의 만화 캐릭터가 그려진 세 번째 수업 표지 배경) (텍스트: 세 번째 수업 아이콘)
넓이 구하기의 일반화 시도
포물선의 넓이를 구하는 방법 또한 아르키메데스의 작품입니다. 그는 그리스를 침략한 로마 군대에 의해 죽기에는 너무나 아까웠던 매우 뛰어난 수학자였습니다.
(아이콘: 칠판 앞의 선생님) 세 번째 학습목표
- 원의 넓이를 구하는 과정과 포물선의 넓이를 구하는 과정에서 공통점을 찾습니다.
- 적분의 아이디어와 원리에 대하여 알아봅니다.
(아이콘: 돋보기를 들고 있는 선생님) 미리 알면 좋아요 무한급수 수를 무한하게 더하는 것을 말합니다. 이 값은 무한히 커질 수도 있고 그 값을 알지 못할 때도 있지만 어떤 특정한 값이 되는 경우도 있습니다.
(측면 장식: 노란색 무늬) 세 번째 수업
리만이 세 번째 수업을 시작했다
전 시간에 무엇을 공부했나요? 원의 넓이를 구하는 방법에 대해 공부 했지요. 그런데 수학자들은 원 이외의 다른 곡선도형의 넓이를 구하는 방법도 연구하지 않았을까요? 네, 물론 수학자들은 본연의 임무에 충실 했습니다. 곡선도형 중에서 원의 넓이만 구한 건 아니었으니까요. 원과 비슷한 도형인 타원의 넓이도 계산해 냈습니다. 그리고 공이 날아갈 때 그리는 궤적인 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이도 구했습니다.
타원의 넓이 구하는 방법은 다섯 번째 수업 시간에 자세히 소개하 도록 하고요, 이번 시간은 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 를 구하는 방법을 알아보겠습니다.
포물선의 넓이를 구하는 방법 또한 아르키메데스의 작품입니다. 그는 그리스를 침략한 로마 군대에 의해 죽기에는 너무나 아까웠던 매우 뛰어난 수학자였습니다.
포물선의 넓이를 구하는 방법은 원의 넓이를 구하는 방법과는 조 금 다르지만 원리는 같습니다. 원의 경우 등분하여 내접하는 다각형 넓이의 합으로 그 넓이를 구했다면, 포물선의 경우 내부를 채우는 삼 각형 조각들의 합으로 넓이를 구합니다.
예를 들어 아래 그림처럼 밑변은 직선이고, 나머지는 포물선인 도 형의 넓이를 구해 봅시다. 편의상 대칭인 도형으로 했습니다.
(그림: 밑변이 직선이고 윗부분이 곡선인 노란색 포물선 형태의 도형)
먼저 직선과 평행하면서 포물선에 접하는 접선을 그어서, 그 접점 과 직선, 포물선이 만나는 두 점을 이어 하나의 삼각형을 만듭니다.
(그림: 포물선 내부에 그려진, 꼭짓점이 포물선의 정점에 있는 하나의 큰 삼각형)
포물선 내부에 아직 삼각형으로 채워지지 않는 부분이 있군요. 그 럼 같은 방법으로 삼각형을 또다시 채워 봅시다.
삼각형의 한 대변과 평행하고 포물선에 접하는 두 접선의 접점을 찾은 후 대변의 양 끝점과 접점을 이어서 작은 삼각형을 만듭니다. 그리고 다른 대변에도 같은 방법으로 삼각형을 만듭니다.
(그림: 이전의 큰 삼각형 양옆에 추가된, 두 개의 작은 삼각형)
그러면 3개의 삼각형은 포물선의 내부를 점점 덮어 나가게 됩니다.
남은 부분도 역시 위와 같은 방법으로 채워 나갑니다. 4개의 작은 삼 각형으로 남은 부분을 채웁니다.
그러면 역시 언젠가는 우리의 머릿속 실험실에서 삼각형들의 넓이 의 합이 포물선의 넓이와 같아질 것입니다. 그 결과 포물선의 넓이는 최초의 삼각형의 넓이를 $\frac{4}{3}$ 배 한 것과 같은데요, 계산 과정은 생략하 겠습니다.
그런데 왜 갑자기 생뚱맞게 포물선의 내부 넓이를 구하는 옛날 방법을 설명했을까요? 선생님은 여러분이 원의 넓이를 구했던 방법과 포물선의 넓이를 구했던 방법의 공통점을 찾기를 바랍니다. 그리고 원의 넓이를 구하면서 가졌던 두 가지 의문들을 다시금 떠올리기를 바랍니다.
포물선 내부의 넓이를 구하는 과정에서도 약간 의심 가는 게 있습니 다. 삼각형들을 겹겹이 쌓았을 때 그 경계 부분은 포물선처럼 곡선이 아닌 직선이라는 것, 그리고 삼각형들의 넓이를 아무리 합해도 그 합 은 포물선의 넓이보다 작을 텐데 단지 무한히 많은 삼각형을 만든다고 해서 넓이가 같다고 주장하는 것은 여전히 믿기 어려운 부분입니다.
이제 이 문제를 해결할 때가 되었군요. 그 전에 여러분은 수 number
가 무엇이고, 숫자가 무엇인지를 알고 있는 것으로 생각하겠습니다.
우리는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이가 1이고, 밑변과 높 이가 1인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2}$이라는 것을 알고 있습니다. 이때 넓이 의 값은 항상 숫자로 표현됩니다. 더 정확하게 말하면 ‘수’입니다. 대표적인 수는 1, 2, 3, 4, $\cdots$로 시작하는 ‘자연수’가 있습니다. 이때 1, 2, 3, 4는 자연수를 표현하는 하나의 매개체, 즉 글자로 표현했다 하여 ‘숫자’라고 합니다.
수는 우리 앞에 어떤 모습으로 나타나고 있을까요? 단지 하나의 형태로만 나타나지는 않습니다.
이름이 ‘철수’인 친구가 학교에서는 대한 초등학교 6학년 2반 3번 으로 통하며, 채팅할 때는 ‘수학이조아’처럼 아이디를 가지고 있고, 941012-1234567처럼 주민등록번호를 통하여 본인임을 확인받을 때도 있습니다. 이처럼 하나의 존재가 각각 다른 형태로 구현되고 있습니다.
수도 마찬가지입니다. $\frac{1}{2}$ 같은 분수 역시 수 표현의 매개체가 되며 0.1, 0.2처럼 소수도 마찬가지입니다. $\frac{1}{2}$과 0.5는 표현은 다르지만 같 은 수입니다. $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$과 1 또한 다른 모양을 한 같은 수입니다. 이때 우
(그림: 가운데 한 남학생(영호)이 서 있고, 주변에 사람들이 다양한 호칭으로 그를 부르는 모습이 말풍선으로 표현되어 있다. ‘저는 수학초등학교 6학년 3반 2번 영호입니다.’, ‘저를 이렇게 부르기도 하지요.’, ‘심술 꾸러기’, ‘몸치’, ‘화장실 청소 당번’, ‘못난이’, ‘음치’, ‘가수’, ‘축구 스트라이커’, ‘야구 4번 타자’, ‘천사’, ‘꽃미남’)
리는 $\frac{1}{2} = 0.5$, $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$이라고 해서 두 수 사이에 등호를 넣어 같은 수 임을 나타냅니다. 문제는 매개체가 많다 보니 같은 수를 다른 모양으 로 표현하는 경우가 많다는 데 있습니다.
$\frac{1}{2}$이 있습니다. 여기에 $\frac{1}{2}$의 반, 즉 $\frac{1}{4}$을 더합니다. 이 값에 $\frac{1}{4}$의 반 인 $\frac{1}{8}$을 더합니다.
$\frac{1}{2} =$ $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} =$ $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} =$
좌변은 덧셈으로 연결된 복잡한 식이지만 계산하면 같은 값의 다른 수로 간단하게 표현할 수 있습니다. 위의 값을 소수로도 나타낼 수 있 을까요?
이 덧셈을 멈추지 않고 계속한다고 가정해 볼까요? 더하는 값은 마 지막에 나오는 분수의 반입니다. 이 경우 좌변의 무수히 많은 덧셈으 로 연결된 수를 하나의 수로 나타낼 수 있을까요?
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \cdots = ?$
여기서 좌변의 맨 끝에 있는 표시 ‘$\cdots$’는 국어 책에서 쓰이듯이 말 줄임표를 의미하지 않습니다. 앞에서 보여 준 규칙이 끝없이 계속된 다는 의미가 함축된, 의미심장한 기호입니다. 그러니까 $\frac{1}{32}$ 다음엔 $\frac{1}{64}$를 더하고, 그 다음엔 $\frac{1}{128}$을 더하고 $\cdots\cdots$.
그 값이 얼마인지 궁금한가요? 다음 그림을 이용해서 알아보세요.
(그림: 정사각형 하나를 절반으로 쪼개어 하나는 1/2로 표시. 남은 절반을 또 절반으로 쪼개어 하나를 1/4로 표시. 또 절반을 쪼개어 1/8, 이 과정을 계속하여 1/16, 1/32, 1/64… 등으로 점점 작아지게 분할된 모습을 보여주는 그림)
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \cdots$ 은 1과 같은 값입니다. 따라서 답은 ‘1’ 입니다.
(아이콘: 새가 책을 물고 있는 그림) 무한급수 수를 어떤 규칙에 따라 더하되 더하는 횟수를 무한히 많게 한 급수
사실상 무한 번 더하는 계산 방법은 여러분에게 생 소할 수밖에 없습니다. 하지만 이 책에서 그 이유를 밝히기에는 우리에게 주어진 수업이 너무나 짧군요.
이 내용은 무한급수라는 수학의 연구 주제입니다. 일단 이것 하나만 알고 갈 수밖에 없군요.
무한히 수들을 더해 가면 더한 결과값은 무한히 큰 값이 되는 것처 럼 보이지만 실제로는 더 이상 커지지 않고 어떤 하나의 수가 되는
경우가 있습니다.
원의 넓이를 구할 때도 무수히 많은 삼각형의 넓이를 더한 것, 즉 무한 번 수를 덧셈하는 것인데도 그 값은 반지름의 제곱에 원주율 $\pi$ 를 곱한 값이 되지 않습니까?
이렇듯 우리의 일반적인 생각이 통하지 않는 경우도 있습니다. 이에 대한 여러분의 궁금증은 <수학자가 들려주는="" 수학="" 이야기=""> 시리즈의
<무한급수 이야기="">에서 해결할 수 있습니다. --- 자, 그럼 넓이 구하기를 처음부터 새롭게 시작하겠습니다. 곡선도 형의 넓이를 구하는 데 이용했던 내부 채우기를 직선으로 둘러싸인 다각형의 넓이에도 적용해 봅시다. 간단히 직각삼각형부터 해 볼까 요? 헉! 여기저기서 한숨과 불평의 목소리가 들리는군요. "쉽게 공식으로 구하면 되잖아요." "공식이 있는데 왜 또 어렵게 구해요?" "아! 또 쉬운 걸 굳이 어렵게 풀려고 하는 거 다 알거든요." 네, 여러분의 마음을 이해합니다. 그런데 말이죠, 삼각형의 넓이 공식은 삼각형일 때에만 사용할 수 있는 공식입니다. 수학자들은 여 기서 한 걸음 더 앞으로 나아가 모든 도형의 넓이를 구하는 데 사용할 통일된 방법, 이른바 공식을 만듭니다. 다각형은 삼각형의 넓이 공식으로, 곡선도형은 내부를 잘게 쪼개 는 것으로 한 도형의 넓이를 구하는 것보다, 모든 도형의 넓이를 구 할 수 있는 공식을 만들면 훨씬 간편하고 통일된 느낌이겠지요. 그런 데 만에 하나 원이나 포물선의 넓이를 구할 때 사용한 '잘게 쪼개기' 방법이 삼각형 넓이 구하기에서는 응용이 안 되면 어쩌죠? 걱정하지 마세요. '잘게 쪼개기'에도 공식이 있답니다. 그 공식이 바 로 적분 공식입니다. 약간의 계산만으로 넓이를 구할 수 있을 테니 그 때까지만 참고 해 보는 겁니다. 물론 그게 언제일지는 모르지만요. 아래의 직각삼각형의 넓이를 구해 봅시다. > (그림: 밑변과 높이를 가지는 직각삼각형이 노란색으로 칠해져 있는 그림) 직각삼각형을 채울 도형으로는 넓이를 쉽게 구할 수 있는 직사각 형을 선택합니다. 직사각형의 넓이 공식을 기억하고 있겠죠?
네, 직사각형의 넓이 공식은 가로 길이 곱하기 세로 길이입니다. 삼각형의 내부를 채우는 과정은 롤러로 페인트칠하는 것을 생각하 면 됩니다. 롤러로 페인트칠을 할 때 보통 위에서 아래로 혹은 아래 에서 위로 칠합니다. 재미 삼아 마음대로 칠할 수도 있겠지만 직선으 로 반듯하게 위아래를 왔다 갔다 하면서 칠하는 것으로 합시다. 그러 면 한 번 칠한 부분은 직사각형 모양이 됩니다. > (그림: 한 소년이 롤러를 이용해 벽에 연두색 페인트를 위아래로 반듯하게 칠하는 만화. 옆에서 쓱싹 소리가 나고 위쪽에서는 고양이가 지켜보고 있다.)
> (그림: 한 여성이 롤러로 초록색 직사각형 모양으로 페인트를 칠하는 모습. 위쪽에는 90도를 맞추고 반듯하게 칠한다는 말풍선이 있다.) 여러분에게는 다양한 크기의 롤러가 있습니다. > (그림: 서로 다른 크기의 세 개의 페인트 롤러 그림. 눈과 입이 달려 의인화되어 있다.) 여러분 중 두 명이 나와서 같이 페인트칠을 하기로 합시다. 철수와 영희가 지원했네요.
삼각형을 색칠하는 규칙은 다음과 같습니다. 단, 규칙 ④의 경우는 두 사람이 하나씩 선택합니다. - **규칙 1** 롤러는 항상 밑변에서부터 굴리고, 한 번 칠해진 부분은 직사각 형이 된다. - **규칙 2** 덧칠은 안 된다. 칠이 되어 있는 곳을 겹쳐 칠할 수 없다. - **규칙 3** 칠하는 횟수는 제한이 없다. 무한히 칠할 수도 있다. - **규칙 4-1** 밑변에서부터 칠하되, 롤러를 올리다가 삼각형의 빗변과 최 초로 만나는 지점에서 멈춘다. - **규칙 4-2** 밑변에서부터 칠하되, 롤러를 올리다가 삼각형의 빗변을 지 나치기 직전에 멈춘다. 규칙 4-1을 그림으로 표현하면 다음과 같습니다. > (그림: 롤러(철수)가 직사각형 모양으로 페인트를 칠해 올라가는 그림의 일부)
그리고 규칙 4-2를 그림으로 표현하면 다음과 같습니다. > (그림: 롤러(영희)가 직사각형 모양으로 페인트를 칠해 올라가는 그림의 일부) 철수는 **규칙 4-1**을 이용해서 페인트칠을 하고, 영희는 **규칙 4-2** 를 이용하세요. 영희는 철수보다 더 많이 칠하는 것 같다고 뿌루퉁 해 있군요. 하지만 영희는 걱정할 것 없답니다. 철수가 칠한 만큼만 칠할 수 있게 해 줄게요. 와우! 벌써 다 칠했네요! 선생님은 여러분이 머릿속에 그린 그림도 들여다볼 수 있답니다. > (그림: 두 개의 직각삼각형. 왼쪽 삼각형 안에는 철수가 규칙 4-1에 따라 밑변에서부터 칠해 올라간 노란색 직사각형들이 내접해 그려져 있다. 오른쪽 삼각형에는 영희가 규칙 4-2에 따라 칠한 노란색 직사각형들이 삼각형의 빗변 밖으로 삐져나와 외접해 그려져 있다.)
앞의 두 그림 중 철수와 영희가 칠한 것을 각각 구분할 수 있나요? 왼쪽이 철수, 오른쪽이 영희의 작품입니다. 철수의 것은 삼각형 맨 왼쪽 부분을 칠하지 않은 것처럼 보이지만 실은 페인트칠을 하려고 밑변에 롤러를 갖다 댄 순간 빗변에 닿는 바람에 더 이상 그리지 못 한 겁니다. 앞의 그림에서 두 사람의 롤러 크기가 제각각인데요, 이제부터는 하나의 롤러만 사용하는 걸로 합시다. **규칙 5**를 새롭게 정할까요? - **규칙 5** 롤러의 두께는 일정하다. **규칙 5**를 이용해서 다시 직각삼각형을 색칠해 볼까요? > (그림: 롤러의 두께가 일정하게 되어, 왼쪽 삼각현 안에는 철수의 일정한 폭을 가진 노란색 직사각형들이 내접해 있고, 오른쪽 삼각형에는 영희의 일정한 폭을 가진 노란색 직사각형들이 외접해 있는 그림이다.)
앞의 두 그림을 보면서 어떤 생각이 드나요? 원래 칠해야 할 직각 삼각형에 비해 철수는 덜 칠했고, 영희는 더 칠했군요. 정확히 삼각 형을 칠하려면 어떤 규칙이 더 필요할까요? 원의 넓이 구할 때를 생각해 보세요. 특히 영희가 칠해야 하는 양 을 줄이려면 다음과 같은 규칙이 필요해요. 아니, 우리가 넓이를 구 하고 있으니까 규칙이라기보다는 필수 조건이 되겠군요. - **규칙 6** 롤러의 두께는 우리가 원하는 만큼 작은 것도 있다. 그럼 두 사람 다 직각삼각형을 롤러로 8번 색칠해 보고, 또 16번 색 칠해 보세요. > (그림: 직각삼각형 두 개. 왼쪽은 밑변을 8등분하여 폭이 넓은 노란 직사각형 8개가 내접하게(철수의 방식) 그려져 있고, 오른쪽은 밑변을 16등분하여 폭이 좁은 노란 직사각형 16개가 내접하게(철수의 방식) 그려져 있다. "철수가 롤러로 8번 칠했을 때와 16번 칠했을 때"라는 자막이 있다.)
> (그림: 직각삼각형 두 개. 왼쪽은 밑변을 8등분하여 폭이 넓은 노란 직사각형 8개가 외접하게(영희의 방식) 그려져 있고, 오른쪽은 밑변을 16등분하여 폭이 좁은 노란 직사각형 16개가 외접하게(영희의 방식) 그려져 있다. "영희가 롤러로 8번 칠했을 때와 16번 칠했을 때"라는 자막이 있다.) "색칠만 하니까 팔이 너무 아파요!" 와우! 농담까지? 선생님이 힘이 나네요. 그럼, 제가 적분을 재정리하게 된 동기를 들려주지요. > (만화 삽화: 4컷 만화. > 1컷: 두 학생이 롤러로 벽에 페인트칠 놀이를 하며 "와! 재밌겠다.", "좋아!" 외치고, 옆에서 한 아이가 "선생님! 저희가 페인트칠 도와드릴게요." 한다. > 2컷: 선생님(리만)이 과자(유어갹) 봉지를 들고 나타나 "빨리 그리고 꼼꼼하게 잘 칠하는 사람에겐 맛있는 과자를 주겠다."라고 한다. 철수와 영희가 "과자는 제 거예요!", "흥! 내가 질 줄 알고"라며 경쟁한다. > 3컷: 철수는 "그래서 어느 세월에 다 칠하냐?"라며 치덕치덕 대충 칠하고, 영희는 심혈을 기울여 조심조심 칠한다. > 4컷: 선생님이 철수가 삐져나오게 칠한 나무 그림과 영희가 작게 칠한 집 그림을 보며 "후후! 과자는 누가 먹어야 할까?" 고민하고, 철수는 땀 흘리며 "쩝~ 영희한테 양보할게요." 라고 한다.)
어떤 문제의 답을 얻는 방법은 항상 정공법만 있지는 않습니다. '모로 가도 서울만 가면 된다'는 속담이 있잖아요? 도형의 넓이를 구 하는 것도 마찬가지입니다. 직접 구할 수 없다면 우리가 넓이를 구할 수 있는 도형의 힘을 빌려 보는 건 어떨까요? 그런데 어떤 도형을 쓸 까요? 이 질문에 대한 대답은 앞의 실험들과 무관하지 않습니다. 먼저 밑변을 마구 쪼갭니다. 이건 롤러의 두께입니다. 그리고 두 사람이 그린 규칙대로 칠합니다. 이때 철수처럼 칠해서 얻은 도형의 넓이의 합을 **하합**이라고 했습니다. 원래 도형의 넓이보다 적은 값이 라 해서 '아래 하($\text{下}$)' 자를 사용합니다. 그런데 하합은 롤러의 두께에 따라 그 값이 변하지요. 그래서 철수가 밑변을 8번 등분한 후 칠하여 얻은 도형의 넓이를 '8회 분할하여 얻은 하합'이라고 이름을 붙였습 니다. 그러면 영희가 칠해서 얻은 도형의 넓이의 합은 무엇이라고 했을 까요? 네, **상합**이라고 했습니다. 역시 영희가 밑변을 8번 등분한 후 칠하여 얻은 도형의 넓이를 합한 값을 '8회 분할하여 얻은 상합'이라 고 했습니다. 제가 가장 고민했던 부분은 '어떻게 하면 원래 도형의 넓이와 상 합, 하합이 같아질 수 있을까?'였습니다. 그래서 생각해 낸 것이 밑
변을 가능한 한 많이 등분하는 것이었습니다. 철수, 영희가 칠하여 얻은 직사각형들의 넓이 합을 차례대로 하합, 상합이라고 했는데요, 여기서 약간 문자식의 도움을 받을까요? 밑변을 $n$번 등분해서 얻은 하합과 상합을 각각 기호로 $L_n$, $U_n$이라 고 쓰겠습니다. 그럼 철수가 8번 등분해서 칠해 얻은 직사각형들의 넓이의 합은 기호로 $L_8$이 됩니다. 그리고 영희가 칠하여 얻은 직사각 형들의 넓이의 합은 기호로 $U_8$이 됩니다. 그런데 상합과 하합 사이에는 다음과 같은 꽤 재미있는 법칙이 있 더군요. ① **롤러의 두께가 작을수록 칠한 면, 즉 직사각형의 개수는 많아진다. 이 때 영희가 칠한 직사각형들의 넓이 합은 점점 작아지는 반면에 철수가 칠한 직사각형들의 넓이 합은 점점 커진다.** 기호로 표현하면 $L_4 < L_8 < L_{16} < \cdots$이 되고, $U_4 > U_8 > U_{16} > \cdots$이다. ② **영희가 칠한 직사각형의 넓이는 철수가 칠한 직사각형의 넓이보다 항상 크다. 이는 롤러의 두께와 무관하게 항상 성립한다.** 즉, $n$이 자연수일 때 항상 $L_n < U_n$이다. ③ **영희가 칠한 직사각형의 넓이와 철수가 칠한 직사각형의 넓이 사이에**
**직각삼각형의 넓이 값이 존재한다. 이는 롤러의 두께와 무관하게 항상 성립한다.** 즉, $n$이 자연수일 때 항상 $L_n < S < U_n$이다. 이때 $S$는 직각삼각형의 넓 이이다. 아래의 그림은 우리가 유추한 넓이들의 관계입니다. 그림 사이의 부등호는 빗금 친 부분의 넓이 관계를 나타낸 것입니다. 이를 기호로 나타내면 다음과 같습니다. > (그림: 4개의 직각삼각형 넓이 비교. > 첫 번째: 밑변을 8등분한 하합 그림 ($L_8$) > 두 번째: 밑변을 16등분한 하합 그림 ($L_{16}$) > 세 번째: 밑변을 16등분한 상합 그림 ($U_{16}$) > 네 번째: 밑변을 8등분한 상합 그림 ($U_8$) > $L_8 < L_{16} < \cdots < S < \cdots < U_{16} < U_8$ 관계를 시각적으로 보여준다. 각각의 그림 사이에 $<$ 기호가 있고 가운데 직각삼각형을 향해 점줄임표가 있다.) $$L_8 < L_{16} < \cdots < S < \cdots < U_{16} < U_8$$
이를 토대로 $n$을 무한히 확대했을 때, 하합 $L_n$과 상합 $U_n$, 그리고 원래 도형의 넓이 $S$ 사이에 어떤 관계가 있으면 원래 도형의 넓이 $S$ 를 구할 수 있을까 생각해 보았습니다. 그래서 다음과 같은 결론을 얻었습니다. ④ **롤러의 두께가 작을수록 영희가 칠한 직사각형의 넓이와 철수가 칠 한 직사각형의 넓이의 간격은 점점 줄어들고, 그것들과 직각삼각형 의 넓이와의 차 또한 점점 줄어든다. 만약 롤러의 두께가 $0$과 한없 이 가까워졌을 때, 두 사람이 칠한 직사각형들의 넓이의 합이 같아진 다면 우리는 직각삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 직각삼각형의 넓이 는 롤러의 두께가 $0$과 한없이 가까워졌을 때의 직사각형들의 넓이 의 합이다.** 즉, $n$이 한없이 큰 값이 될 때 $L_n = U_n$이 된다면, $S = L_n = U_n$이다. 이렇게 도형의 넓이를 알아낼 수 있는 방법을 찾아냈습니다. 문제 는 '마지막 법칙 ④를 어떻게 확인할 수 있을까?'였습니다. 이 법칙 을 증명하는 것은 현실에서는 불가능했거든요.
> (만화 삽화: 철수와 영희가 아주 작은 롤러와 큰 롤러를 들고 있고, 칠판에는 철수가 내접하게 칠한 그림(파란색)과 영희가 외접하게 칠한 그림(빨간색, '영희가 그렸음' 표시됨)이 그려져 있다. 철수는 "롤러가 작아질수록 영희가 칠한 면적과 내가 칠한 면적이 점점 비슷해지네."라고 말하고 있고, 옆에서 선생님(리만)이 롤러를 들고 강아지와 함께 서서 당황한 듯 "저놈이었군!" 하고 외치고 있다.) 이렇게 정리하고 보니 원의 넓이를 구할 때와 상황이 비슷하네요. 실제로 무한히 작은 롤러는 존재하지 않습니다. 여러분, 선생님과 수업하면서 항상 마지막 실험실은 어디였나요? 맞아요. 바로 여러분 의 머릿속입니다. 머릿속 롤러는 여러분의 상상력에 따라 차이는 있 겠지만 매우 작은 두께로 존재할 것입니다. 자, 두 사람 모두 롤러의 두께를 무한히 작게 만들고, 칠한 부분의
넓이를 서로 비교해 보세요. 롤러의 두께가 한없이 작아질수록 철수가 덜 칠한 부분의 넓이는 $0$ 이 될 것이고, 영희가 더 칠한 부분의 넓이 또한 $0$이 될 것입니다. 이 경우에 철수와 영희가 칠한 부분의 넓이의 차 또한 거의 $0$이 됨을 실 험해 보세요. 이 경우 철수와 영희가 칠한 부분의 넓이는 서로 같아지고, 두 넓 이 사이에 있는 직각삼각형의 넓이 또한 그것들과 같아집니다. 밑변과 높이를 알고 있는 직각삼각형을 이용하여 철수와 영희가 페인트칠한 부분의 넓이를 직접 구해 볼까요? 하지만 아쉽게도 세 번 째 수업이 끝나 가네요. 다음 시간에 같이 계산해 봅시다. --- **상합과 하합의 값은?** 실제 밑변을 여러 등분한 후 칠한 부분의 합, 즉 상합과 하합을 구 하려면 각 직사각형들의 세로 길이가 필요합니다. 세로 길이는 결국 밑변에서 빗변까지 수직으로 올렸을 때 빗변과 만나는 선분의 길이 입니다. 이 값은 식을 통해 구할 수 있는 방법이 있습니다. 참고로 다음의 표와 꺾은선그래프는 밑변을 표의 왼쪽에 적은 횟
수만큼 등분하였을 때, 상합과 하합의 값을 나타낸 것입니다. | 등분 횟수 | 칠한 넓이 (철수 하합) | 칠한 넓이 (영희 상합) | 1과의 차 (철수) | 1과의 차 (영희) | | :-------: | :-------------------: | :-------------------: | :-------------: | :-------------: | | 5 | 0.80 | 1.20 | 0.20 | 0.20 | | 10 | 0.90 | 1.10 | 0.10 | 0.10 | | 20 | 0.95 | 1.05 | 0.05 | 0.05 | | 100 | 0.99 | 1.01 | 0.01 | 0.01 | 밑변을 5회, 10회, 20회, 100회 등분하여 칠했을 때 철수와 영희가 칠한 부분의 넓이와 그 차 > (그림: 가로축은 밑변의 등분 횟수, 세로축은 색칠한 부분의 넓이를 나타낸 꺾은선그래프. 가로축 단위는 1, 11, 21, ... 161 이며 세로축 단위는 0.5 부터 1.5 까지이다. 철수의 하합 그래프는 빨간색 실선으로 1에 한없이 가까워지며 상승하고, 영희의 상합 그래프는 검은색 실선으로 1에 한없이 가까워지며 하강한다. 1.0 넓이 라인에서 만나지는 않지만 극한으로 수렴함을 보여준다.) 가로축은 밑변의 등분 횟수, 세로축은 색칠한 부분의 넓이를 나타낸 꺾은선그래프