4 네 번째 수업

적분 기호 $\int_{a}^{b} f(x) dx$

(만화 삽화: 뱀 모양의 캐릭터가 적분 기호 인테그랄 기호 $\int$ 모양을 하고 있으며 칠판에서 숫자와 기호들과 함께 포즈를 취하고 있다.)

적분이 어렵게 여겨지는 이유는 적분이 과거로부터 전해져 오던 각종 기하학적 법칙과 계산 법칙, 그리고 공식들을 집대성한 집합체이기 때문입니다.



네 번째 학습목표

  1. 직각삼각형의 넓이를 구하는 예를 통해 $x$축과 그래프 사이의 넓이를 구하는 적 분의 원리를 알아봅니다.

  2. 적분 기호 $\int_{a}^{b} f(x) dx$가 갖는 의미를 알아봅니다.

미리 알면 좋아요

  1. 좌표평면 점에 고유 좌표값을 매길 수 있도록 한 평면

  2. 함수 하나의 값이 변할 때, 그에 따라 다른 값도 변하는 관계

  3. 그래프 함수의 모든 값들을 좌표평면에 표시했을 때 만들어지는 직선 혹은 곡선

  4. 일차함수 그래프가 직선으로 나타나는 함수로, $y=ax+b$로 나타낸다.



리만이 네 번째 수업을 시작했다

새로운 것을 공부할 때 피해야 할 태도는 거부감입니다. 무엇이든 포용할 수 있는 너그러움이 필요합니다. 그래도 적분의 원리를 이해 하는 건 어려운 게 사실입니다. 그래서 이번 수업을 시작하기 전에 선생님이 여러분에게 한 가지 부탁을 하겠습니다. 이제부터는 조금 어려울 수도 있습니다. 지금도 어렵다고 투정 부리는 소리가$\cdots\cdots$.

지금부터는 아직 학교에서 배우지 않은 생소한 기호나 약속이 나



오게 됩니다. 약속된 공식이나 기호를 쓰지 않고 수업을 하면 적분의 의미를 파악하는 것이 오히려 더 어려울 수 있습니다. 혹시 나올지 모를 수학 나라의 이상한 친구들을 너무 박대하진 말아 주세요.

적분이 어렵게 여겨지는 궁극적인 이유는 적분이 과거로부터 전해 져 오던 각종 기하학적 법칙과 계산 법칙, 그리고 공식들을 집대성한 집합체이기 때문입니다. 컴퓨터도 수많은 부품과 장치가 결합되어야 정상적으로 작동하는 것처럼 적분 또한 수많은 기호와 계산 법칙, 그 리고 수학 법칙들이 모여 만들어진 고등 분야이기 때문에 적분과 관 련한 어느 것 하나라도 정확하게 알지 못한다면 이해하기 쉽지 않습 니다. 그렇다고 너무 기죽지는 마세요. 여러분의 수학 실력은 계속 늘어날 것이고, 부족한 부분은 금세 메워질 테니까요.

이번에는 적분을 다루는 모든 책에 등장하는 수학 기호 $\int_{a}^{b} f(x) dx$에 대해 공부하겠습니다. 앞의 기호는 ‘인테그럴integral $a$에서 $b$까지 에 프엑스$f(x)$ 디엑스$dx$’라고 순서대로 읽습니다. 기호가 생소하니 당황 스럽죠? 하지만 수학 기호는 하늘에서 뚝 떨어진 보물 상자도 아니고 수학자들이 자신들만 알아볼 수 있게 만든 암호도 아닙니다. 단지 나 타내고자 하는 바를 함축하여 표현한 것뿐입니다.



기호는 우리에게 어떤 도움을 줄까요? 우리 주변에는 기호가 넘쳐 나고 있습니다. 지하철을 탈 때 무심코 보는 지하철 노선도 역시 기 호입니다. 우리는 노선도에 그려진 그대로 철로가 있는 게 아니라는 걸 알고 있습니다. 하지만 간단하게 표현했다고 해서 노선을 몰라보 지 않습니다. 오히려 간단해서 눈에 더 잘 들어오지요.

부모님과 차를 타고 여행을 갈 때, 아니면 버스를 타고 약속 장소 로 이동할 때, 도로 위에는 수많은 교통 표지판이 있습니다. 오른쪽 교통 표지판이 무엇을 말하고 있 는지 알 수 있겠죠?

(그림: 빨간색 원 안에 왼쪽으로 구부러진 화살표에 사선이 그어진 ‘좌회전 금지’ 표지판)

이 표지판은 ‘좌회전 금지’ 기호입니다. 말로 장황하게 써 놓지 않 아도 확연하게 그 내용을 알 수 있습니다.

수학 기호도 마찬가지입니다. 우리가 장황하게 설명하는 어떤 값 을 한눈에 알 수 있도록 간략하게 만든 것입니다. 따라서 기호를 이 해하면 그 본질을 쉽게 파악할 수 있습니다. 문제는 기호를 만든 수 학자들이 모두 서양인들이라 기호 또한 영어에 기반하여 만들어졌다 는 것이고, 따라서 동양인들이 해독하기 힘든 부분이 있지만, 약간의 영어 실력만 있다면 기호 해독의 반은 성공한 셈입니다. ‘시작이 반’ 이라고 하잖아요?



$\int_{a}^{b} f(x) dx$ 기호는 독일의 수학자 라이프니츠가 창안했습니다. 뉴 턴과 라이프니츠는 미분, 적분을 동시에 발견한 수학자들입니다. 물 론 누가 먼저 발견했는지 따지고 싸우는 바람에 물과 기름처럼 서로 쳐다보지도 않는 사이가 되고 말았지만 처음 둘의 만남은 매우 화기 애애했다고 전해집니다. 어쨌든 누가 먼저 발견했는지에 대한 우선 권 논쟁의 결과는 뉴턴의 승리로 일단락되었습니다. 하지만 후대 수 학자들은 뉴턴의 미적분 기호보다는 라이프니츠의 기호를 더 선호했 습니다. 결국 서로 비긴 걸로 봐도 무방하겠죠?

(만화 삽화: 라이프니츠와 뉴턴의 미적분 발견 논쟁. 첫 번째 컷: 라이프니츠가 뉴턴에게 인사한다. “라이프니츠, 오랜만이야!”, 뉴턴 “뉴턴! 그동안 잘 지냈나?” 두 번째 컷: 라이프니츠가 자랑한다. “내가 그동안 미분과 적분을 발견했다네.”, 뉴턴이 놀라며 말한다. “하하하! 그건 이미 내가 발견한 거잖아!” 세 번째 컷: 라이프니츠가 화를 낸다. “무슨 소리! 내가 먼저 발견했어.”, 뉴턴도 화를 낸다. “내 이론을 도적질해 가다니, 도둑!!” 네 번째 컷: 둘이 “투닥투닥” 흙먼지를 일으키며 싸우고 있다. 밖에서 누군가 “도둑? 너는 사기꾼이야!!” 하고 외친다.)



첫 수업 시간에 적분을 ‘무수히 많은 조각을 더하는 행위’라고 정 의했던 걸 기억하나요? 여기서 무수히 많은 조각은 넓이를 계산할 수 있는 도형(삼각형이나 사각형)이고, 적분의 목적은 원래 도형의 넓이를 구하는 것이라고 했습니다.

자, 더하기는 영어로 뭐죠?

그래요, ‘sum’입니다. 위에 나온 적분 기호 어딘가에 sum이 있겠 군요. 찾았나요?

네, 맨 왼쪽에 있습니다. 왠지 기호 $\int$이 sum의 머리글자 ‘S’를 위 아래로 쭈욱 잡아당긴 것 같지 않나요? 이 기호는 인테그럴integral이 라고 읽습니다.

그럼 $f(x)dx$는 무슨 뜻을 담고 있는 기호일까요? 이 기호는 단지 6 개의 문자나 기호로 모니터에 나타낼 수 있지만 그 속에 담겨 있는 내용은 약간의 수학 지식을 필요로 합니다. 바로 문자식, 좌표평면과 함수, 그리고 그래프입니다.

먼저 함수에 대해 얘기해 볼까요?

아마 처음 듣는 학생도 있을 것입니다. 함수는 특히 미분과 적분을 공부하기 위해 가장 기본이 되는 수학 용어로 하나의 값이 변할 때



(만화 삽화: 칠판에 인테그럴($\int$) 기호가 그려져 있고, 선생님이 설명하고 있다. 학생 한 명이 지렁이라고 놀리지만 다른 학생들이 S라고 정정하며 싸운다. 선생님이 sum의 S를 늘어뜨린 것이라고 설명해준다. 첫 번째 컷: 한 학생이 “선생님, 칠판에 그려진 지렁이는 뭐죠?”, 다른 학생 “지렁이가 뭐야? 무식하게시리.” 두 번째 컷: 선생님 “잉…?”, 학생들 “저건 해마야.”, “선생님이 S자를 잘못 쓰신 거야.” 세 번째 컷: 학생들끼리 싸운다. “해마야!”, “지렁이야!”, “S야!” 네 번째 컷: 선생님 코멘트 “이건 지렁이도 아니고 해마도 아니란다. $sum$(합)의 맨 앞 자인 S를 길게 늘이고 인테그럴이라고 읽어.” 학생 한 명이 “내가 맞혔다.”라고 좋아한다.)

그에 따라 다른 값도 변하는 관계를 말합니다. 쉬운 예로는 정사각형 에서 한 변의 길이가 변하면 그 넓이도 변하는데, 이때 한 변의 길이 와 정사각형의 넓이는 서로 함수 관계에 있다고 합니다.

함수는 보통 $x, y$라는 문자로 나타내는데요, $x$값의 변화에 반응하 여 $y$값도 따라 변하고, 그 $y$값이 꼭 하나일 때 ‘$y$는 $x$의 함수’라고 합 니다.

함수는 영어로 ‘function’입니다. 영어의 이니셜을 사용해서 라이 프니츠는 ‘$y$는 $x$의 함수’를 간단히 ‘$y=f(x)$’라고 나타냈습니다. 라이



프니츠는 영어권(정확히는 독일어권) 수학자입니다. 라이프니츠가 사용한 말은 우리말과 말의 순서가 다릅니다. ‘$x$의 함수’를 어떻게 영작할까 요? 네, ‘function of $x$’입니다. 그래서 ‘$f(x)$’가 된 것입니다.

$f(x)$는 $x$라는 문자로 구성된 문자식입니다. 그렇기 때문에 $f$가 마 음에 안 들면 $g$나 $h$로 써도 문제는 없습니다. 단지 그 의미는 꼭 알고 쓰면 좋겠습니다.

위의 함수 문자식에서 정사각형의 한 변의 길이를 $x$, 정사각형의 넓이를 $y$라고 한다면 $x$가 1일 때, $y$ 역시 1이 되고, $x$가 2이면 이에 대한 $y$값은 $2 \times 2 = 4$가 됩니다. 그럼 $y$를 $x$에 대한 식으로 쓴다면 어 떻게 될까요? 정사각형의 넓이는 일반적으로 한 변의 길이를 제곱해 구하므로 $y$는 $x$를 2번 곱한 값이라 하면 되겠군요. 이렇게요.

$y = x \times x = x^2$

우변에 있는 첨자 2는 밑에 있는 값, $x$를 2번 곱하라는 수학 기호, 즉 ‘제곱’입니다.

이때 $x$값에 들어갈 수 있는 수의 범위는 양수입니다. 양수이면 어 떤 값이든 $x$값을 대신할 수 있으며, 이에 따라 넓이 $y$도 자동으로 계 산됩니다.



이처럼 $y = x^2$이라는 $x$에 대한 식으로 주어진 함수를 표현할 수 있습 니다. 이것은 $f(x)=x^2$으로도 표현할 수 있습니다. $f$란 두 수 $x$와 $y$ 사 이에 정해진 규칙, 즉 함수를 나타내는 기호입니다. 또 $f(x)$란 $x$라는 수가 $f$라고 이름 지어진 규칙에 따라 변화되는 수를 말합니다.

예를 들어 $f(1)$이란 1과 함수 규칙에 의해 관계를 맺은 수를 말합니 다. 우리말로는 1의 함숫값이라고 합니다.

일반적으로 함수를 $y=f(x)$라고도 합니다. 이때 $f(x)$는 문자식이 되는데, 이때 사용된 문자는 $x$입니다.

$f(x)=x$, $f(x)=x^2$, $f(x)=x+1$ 등은 모두 함수를 나타내는 $x$에 대 한 식입니다.

그럼 좌표평면이란 무엇일까요?

1600년경 프랑스의 한 수학자가 수학사에 큰 획을 긋는 기막힌 것 을 발명합니다. 발명가의 이름은 ‘데카르트’, 발명품은 ‘좌표’ 또는 ‘좌표평면’입니다. 좌표란 어떤 물체가 가지는 고유의 위치를 수치로 표현한 것입니다. 우리 주변에서 찾아볼 수 있는 가장 대표적인 좌표 는 경·위도입니다. 독도의 좌표는 다 알고 있지요? 동경 $132^\circ$, 북위 $37^\circ$는 독도의 고유 좌표입니다. 이 값은 적도와 영국의 그리니치천



(만화 삽화: 독도와 관련된 일본인과 한국인의 논쟁 첫 번째 컷: 일본인이 억지 부린다. “다케시마는 일본 땅이다데쓰.” 한국인이 화내며 말한다. “독도는 대한민국 영토야. 독도는 우리땅!!” 두 번째 컷: 일본인이 귀를 막으며 말한다. “듣기 싫다데쓰~ 무조건 일본 땅.” 한국인이 묻는다. “그럼 너, 독도의 좌표가 뭐야?”, 일본인은 당황하며 “좌표? 그런 거 모른다데쓰.”라고 한다. 세 번째 컷: 한국인이 다른 학생들과 해녀에게 묻는다. “얘들아! 독도의 좌표는?” 해녀와 학생들이 답한다. “동경 $132^\circ$, 북위 $37^\circ$.” 네 번째 컷: 일본인이 놀라며 묻는다. “어떻게 다 알지? 공부 좀 해야겠다데쓰.”, 한국인이 자랑스럽게 말한다. “그야 독도가 우리 땅이니까 잘 알지!!”)

문대가 지나는 지구 위의 원(이 원을 자오선이라고 합니다)이 만나는 점을 원점으로 했을 때의 값입니다. 아마 독도를 지나는 자오선과 적도가 만나는 점을 원점으로 한다면 독도의 좌표는 동경 $0^\circ$, 북위 $37^\circ$가 되



좌표값 어떤 물체가 가지는 고유한 위치를 수치로 표현한 것

었겠죠? 이처럼 기준점, 즉 원점을 어디로 하느냐 에 따라 같은 지점의 좌표값은 달라집니다.

수직선 위에 수를 나타내는 경향은 꽤 오래전부터 있어 왔습니다. 아래와 같이 직선 위 임의의 점을 원점, 즉 0인 점으로 하고 오른쪽에 있는 어떤 점을 1인 점으로 택합니다. 여기서 어떤 점이라고 한 것을 이상하게 생각하지 마세요. 0과 1 사이의 거리를 단위길이, 즉 길이 를 재는 기준으로 사용하겠다는 약속일 뿐입니다. 그러면 모든 수가 수직선 위에서 자기 고유의 자리를 갖게 됩니다. 아래의 수직선을 참 고하세요.

(수직선 그림: 눈금과 함께 -3, -2, -3/2, -1, 0, 1/2, 1, $\sqrt{2}$, 2, 3, $\pi$ 위치가 표시된 수직선)

그런데 $\sqrt{2}$와 $\pi$가 무엇인지 잘 모르겠다고요? $\pi$는 전 수업 시간에 나왔던 원주율 $3.141592\cdots$입니다. $\sqrt{2}$는 중학교 3학년 과정에서 나 오는 수학 기호인데 제곱해서 2가 되는 양수이고, $1.4142\cdots$인 무한 소수입니다. 그래도 알쏭달쏭하다면 수 이야기는 일단 나중으로 미 루고 계속 설명하겠습니다.



좌표평면 점에 고유 좌표값을 매길 수 있도록 한 평면

좌표평면은 2개의 수직선으로 이루어집니다. 2개의 수직선이 수직 으로 만나는데 이때 만나는 점, 즉 교점은 두 수직선의 원점이 됩니다. 두 수직선이 원점을 기준으로 수직으로 결합했다고 보면 됩니다. 이렇 게 결합된 점을 ‘원점’이라고 부르고 통상 O라는 기호를 붙입니다. 아마 ‘Origin’에서 나온 기호라서 그럴 것입니다.

그리고 일반적으로 수평인 수직선을 $x$축, 수직인 수직선을 $y$축이라 는 용어로 부릅니다. 물론 $x, y$는 편의상 명명한 축의 이름입니다. 마음 에 안 들면 $t, u$로도 쓸 수 있겠지만 관습을 깨는 건 그리 쉬운 일이 아 닙니다.

어쨌든 우리는 평면 위에 있는 모든 점에 위도, 경도처럼 고유의 좌 표값을 매길 수 있습니다. 아래는 평면 위의 한 점 P의 좌표값을 부여 하는 방법입니다.

(좌표평면 그림: 가로 $x$축, 세로 $y$축, 원점 O, 제1사분면에 점 $\mathrm{P}(a, b)$가 있고, 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축의 $a$, $y$축의 $b$로 수선의 발(점선)이 내려져 있는 그림)



직선 꺾이거나 굽은 데가 없는 곧은 선

먼저 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선을 그어 서, $x$축과 만나는 점을 찾습니다. 여기서는 $a$입니 다. 그다음 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선을 그은 후, $y$축과 만나 는 점을 찾습니다. 여기서는 $b$이군요. 이때 점 $\mathrm{P}$의 좌표값은 $(a, b)$가 되어 $\mathrm{P}(a, b)$로 나타냅니다.

좌표평면의 위대함은 단순히 좌표값 붙이기에서 끝나지 않습니다. 우리가 수학 책에서 접한 수많은 직선, 곡선, 도형을 좌표평면에 구현 할 수 있게 되면서 기하학의 법칙은 방정식을 이용한 계산으로 증명할 수 있게 됩니다. 과거에는 도형을 연구하는 학문인 기하학과 방정식을 연구하는 대수학이 별개의 학문이었지만 좌표평면에서 만난 두 학문 이 서로의 부족한 부분을 채워 주고 강력한 문제 해결책을 만들어 시 너지 효과를 누리게 됩니다. 특히 도형의 넓이를 구하는 기하학적 방 법들이 좌표평면에서는 방정식의 해를 구하는 대수학적 방법으로 전 환되었습니다. 이는 과거에 정리되지 않아 혼란스러웠던 넓이 구하기 를 방정식이라는 하나의 통일된 패턴으로 정리할 수 있다는 가능성을 열어 주었습니다. 그 매개체가 바로 함수의 그래프입니다.

앞에서 정사각형의 한 변의 길이를 $x$, 정사각형의 넓이를 $y$라고 했



을 때, 두 변수 $x$와 $y$ 사이에 함수 관계가 만들어지고 함수식으로 표 현하면 $y=x^2$이 된다고 했습니다.

이때 $y=x^2$이라는 문자식이 성립하도록 하는 $x, y$값은 무수히 많습 니다. $x$값이 1, 2, 3, 4로 변하면 $y$값 또한 1, 4, 9, 16으로 변하는데 요, 이렇게 함수식이 성립하는 점을 좌표값으로 하는 점들은 (1, 1), (2, 4), (3, 9) 등이 있습니다. 이 모든 점을 좌표평면에 표시했을 때 만들어지는 도형을 ‘함수의 그래프’라고 합니다. 함수 $y=x^2$의 그래 프를 그려 보면 아래와 같습니다. $x$값이 한 변의 길이가 되므로 $x$값

(그래프 그림: $x$축은 -3부터 3까지, $y$축은 1부터 7까지 표시되어 있으며, 원점을 지나 제1사분면 쪽으로 뻗어나가는 곡선 그래프. 그래프 옆에 ‘제1사분면’이라고 적혀 있으며, 아래 캡션으로 ‘$y=x^2$ 혹은 $f(x)=x^2$ 의 그래프’라고 적혀 있다.)



은 양수인 부분, 즉 제1사분면에만 그래프가 그려집니다.

앞의 곡선 그래프는 포물선입니다. 포물선이라는 도형을 문자식으 로 표현한 후 좌표평면에 그릴 수 있게 된 것이 좌표평면이 가진 가 장 큰 매력입니다.

함수식을 그래프로 그려 보면, 그래프 위의 어떤 점도 동일한 $x$값 을 갖고 있지 않습니다. 반대로 좌표평면 위에 그려진 곡선이 지나는 그 어떤 두 점도 동일한 $x$값을 갖지 않는다면 곡선은 어떤 함수의 그 래프가 됩니다. 대표적인 예로 $y$축과 평행하지 않는 모든 직선은 함 수식으로 표현할 수 있습니다. 아래 그림처럼 직선으로 나타난 직선 의 함수식은 $y=\frac{1}{2} \times x + 1$ 혹은 $f(x)=\frac{1}{2} \times x + 1$입니다. 그런데 수 학자들은 곱셈 기호 쓰기를 무척 싫어한 게으름뱅이였나 봅니다. 보 통은 위의 두 식에서 곱셈 기호를 생략해서 씁니다.

(왼쪽 그림: ‘함수식이 존재하는 곡선’이라는 캡션과 함께 우상향하는 직선의 그래프) (오른쪽 그림: ‘함수식이 존재하지 않는 곡선’이라는 캡션과 함께 타원 모양의 그래프가 그려져 있고, 세로 점선이 타원과 두 점에서 만나는 것을 보여줌)



$y=\frac{1}{2}x+1$, 혹은 $f(x)=\frac{1}{2}x+1$

이처럼 문자식에서 문자와 문자가 바로 붙어 있다든지, 숫자와 문자 가 붙어 있는 경우에는 그 사이에 곱셈 기호가 생략됐다고 보면 됩니다.

그리고 왼쪽 그림에 있는 타원처럼 생긴 도형은 함수의 그래프가 아닙니다. $y$축과 평행하게 직선을 그었을 때 도형과 만나는 점의 개 수가 2개 이상이면 그 도형 혹은 곡선은 함수의 그래프가 아닙니다.

좌표평면에 대한 자세한 설명을 원한다면 《수학자가 들려주는 수 학 이야기》 시리즈 《좌표 이야기》를 읽어 보세요. 좌표평면의 위대함 을 찬양하는 데 너무 열을 올린 나머지 수업이 잠시 곁길로 샜네요.

이번 수업 시간에는 오직 그래프가 직선인 경우에 한해서만 다룰 것입니다. 앞의 왼쪽 그림 같은 직선은 함수의 그래프가 됩니다. 그 러면 어떤 함수의 그래프일까요? 이 내용은 이 책에서 다루지 않지 만, 그 결과는 다음과 같습니다.

① 원점을 지나는 직선이 원점이 아닌 어떤 점 $(a, b)$를 지날 때, 이 직선을 그래프로 하는 함수는 $y=\frac{b}{a}x$ 이다. 이때 $a, b$는 조건에 부합하는 수이다. 물론 $x$좌표인 $a$는 0이 아니어야 한다.



② 어떤 직선이 $y$축과 $(0, n)$이라는 점에서 만나고 다른 어떤 점 $(a, b)$를 지날 때, 이 직선을 그래프로 하는 함수는 $y=mx+n$이다. 이때, $m=\frac{b-n}{a}$ (단, $a \neq 0$)이다.

예를 들어 $y$축과 $(0, 1)$에서 만나고, $(2, 3)$을 지나는 직선을 그래 프로 갖는 함수는 $y=\frac{3-1}{2}x+1=x+1$입니다.

또한 $y$축과 $(0, 1)$에서 만나고 $(1, -1)$을 지나는 직선을 그래프로 갖는 함수는 $y=\frac{-1-1}{1}x+1=-2x+1$입니다.

(그래프 그림: 좌표평면 위에 두 개의 직선이 그려져 있다. 하나는 $y$축의 1을 지나고 우상향하는 붉은색 직선으로 ‘$y=x+1$’이라고 표시되어 있다. 다른 하나는 $y$축의 1을 지나고 우하향하는 검은색 직선으로 ‘$y=-2x+1$’이라고 표시되어 있다.)



그럼 다시 넓이를 구하는 문제로 돌아가 볼까요? 적분은 좌표평면 을 이용하여 나타냅니다. 전 수업 시간에 직각삼각형의 넓이를 페인 트칠한 넓이로 비유했습니다. 우리가 원하는 것은 페인트의 색이 아 니라 칠한 부분, 즉 쪼갠 도형과 그것들을 합한 넓이입니다. 앞서 살 폈듯이 칠한 부분은 직사각형이 됩니다. 그리고 이 직사각형들의 넓 이를 모두 합한 값을 그 칠한 규칙에 따라 상합, 하합이라고 이름 붙 였습니다.

하지만 마지막 작업은 직사각형들의 가로 길이를 한없이 작게 만 들어서 얻어진 직사각형들의 넓이 합을 구하는 건데요, 이제 그 방법 을 설명하겠습니다. 참고로 앞으로의 수업은 위에서 제시한 4가지 선 행 학습 내용인 문자식, 함수, 그래프, 좌표평면을 모르면 내용을 이 해하기 어려울 수도 있습니다.

밑변의 길이가 1이고 높이가 2인 직각삼각형을 좌표평면에 그려 봅시다. 이때 다음 그림처럼 꼭지점 $\mathrm{A}$를 좌표평면의 원점에, 직각을 낀 꼭지점을 $x$축 위에 올려놓겠습니다. 그러면 꼭지점 $\mathrm{A}$의 좌표값은 $(0, 0)$, 꼭지점 $\mathrm{B}$의 좌표값은 $(1, 0)$, 꼭지점 $\mathrm{C}$의 좌표값은 $(1, 2)$가 됩니다.



(왼쪽 그림: 밑변 $\mathrm{AB}$의 길이가 1, 높이 $\mathrm{BC}$의 길이가 2인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$) (오른쪽 그림: 왼쪽의 직각삼각형을 좌표평면에 올려놓은 모습. 점 $\mathrm{A}$는 원점 $(0, 0)$, 점 $\mathrm{B}$는 $(1, 0)$, 점 $\mathrm{C}$는 $(1, 2)$에 위치해 있으며, 빗변 $\mathrm{AC}$를 포함하는 붉은색 직선이 그려져 있다.)

그럼 직각삼각형의 빗변을 그래프로 하는 함수식은 무엇일까요?

빗변을 직선으로 연장해서 그릴 경우 직선 위의 모든 점은 $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$처럼 $y$좌표값은 $x$좌표값에 2를 곱한 값과 같습니다. 이 런 경우 $x$와 $y$ 사이에 어떤 식이 성립할까요? 여러분이라면 아마 $y=2x$를 연상할 수 있을 것입니다. 네, 맞습니다. 빗변 $\mathrm{AC}$의 연장선 을 그래프로 하는 함수는 $y=2x$ 혹은 $f(x)=2x$입니다. 물론 앞에서 다뤘던 공식으로 함수를 유도해도 됩니다.

우리가 구하려는 도형의 넓이는 함수 $y=2x$의 그래프와 $x$축, 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 $x$축에 수직으로 놓여 있는 직선까지 총 3개의 직선들로 만 들어지는 영역의 넓이입니다. 맞지요?



세 번째 수업 시간에 직각삼각형의 넓이를 구했던 것을 기억하나요? 롤러의 두께가 무한히 작아질수록 두 사람이 칠한 부분의 넓이의 차가 0에 매우 근접한 수가 되고, 그 넓이는 직각삼각형의 넓이와 거의 같 게 된다는 것 말입니다. 그리고 하합, 상합도 다시 한번 보고 오세요.

편의상 그리기가 더 쉬운 철수의 삼각형을 새롭게 좌표평면에 나 타내 보겠습니다. 삼각형의 밑변을 4등분했을 때, 즉 두께가 $\frac{1}{4}$ $=0.25$인 롤러를 이용하여 칠한 결과물은 다음과 같습니다.

(그래프 그림: 함수 $f(x)=2x$의 그래프 아래에, $x$축 구간 $[0, 1]$을 4등분하여 직사각형들을 그린 모습. 각 직사각형의 높이는 왼쪽 끝점의 함숫값으로 정해져 있다(하합 방식). 직사각형 내부에 붉은색 빗금 칠이 되어 있다.)

우선 한 개의 직사각형의 넓이부터 구해 봅시다. 다음의 그림은 어 떤 두께의 롤러로 페인트칠을 한 번 한 결과 만들어진 영역, 즉 직사 각형입니다.



(그래프 그림: 함수 $f(x)=2x$ 그래프상에 만들어진 직사각형 $\mathrm{DEFG}$ 하나를 확대한 모습. 가록 축에 $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{B}$ 점이 나란히 있고, 붉은 빗금 친 직사각형의 밑변은 $\mathrm{EF}$, 높이는 선분 $\mathrm{DE}$이다.)

이때 직사각형 $\mathrm{DEFG}$의 세로의 길이 $\overline{\mathrm{DE}}$는 어떻게 표현할까요? 삼 각형의 비례를 이용하지 말고 함수 $f(x)=2x$를 이용해서 표현해 봅시 다. 선분 $\mathrm{EF}$ 위에 있는 점들의 $x$값은 모두 자신만의 함숫값 $f(x)$를 갖게 된다는 것을 기억하세요.

여기서 선분 $\mathrm{DE}$의 길이는 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표입니다. 좌표평면 위의 한 점에 좌표를 매기는 방법을 다시 한번 떠올려 보세요.

그런데 점 $\mathrm{D}$는 함수 $f(x)=2x$의 그래프상의 점입니다. 그래프상의 점은 어떤 규칙으로 좌표값이 매겨지던가요? $x$좌표값의 두 배를 $y$좌 표에 쓴 것입니다. 그러면 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표는 무엇일까요? 네, $x$축에 수 직으로 그은 직선과 만나는 $x$축 위의 점, 즉 점 $\mathrm{E}$의 $x$좌표가 될 것입



니다. 그러므로 직사각형의 세로의 길이는 $f(\mathrm{E} \text{의 } x\text{좌표})$입니다.

그러면 가로 길이 $\overline{\mathrm{EF}}$는 무엇일까요? 바로 두 점 $\mathrm{E}$와 $\mathrm{F}$의 ‘$x$좌표값의 차’ 입니다. 영작하면 ‘difference of $x$’ 인데 여기서는 머리글자만 따 서 ‘$dx$’ 라는 기호로 쓰겠습니다.

우리는 앞 시간에 직사각형을 만드는 조건으로 조각 직사각형의 가 로의 길이를 모두 같게 했습니다. 따라서 모든 직사각형들의 가로의 길 이는 $dx$로 표현할 수 있습니다. 사실 $dx$가 가지는 본질적인 의미는 더 심오하지만 그건 다음 수업 시간에 알아보기로 하겠습니다.

(만화 그림: 칠판 앞에서 한 사람이 직사각형들로 나누어진 삼각형 넓이를 그려 설명하고 있다. “삼각형의 넓이 공식은 $\text{밑변} \times \text{높이} \times \frac{1}{2}$ 입니다. 하지만 여기서는 적분의 원리를 응용하여 삼각형의 넓이를 구해 봅시다.” 칠판 아래에는 지우개 캐릭터들이 “우리가 나설 차례인가?” 라며 대기하고 있다.)



자, 이제 직사각형의 가로와 세로 길이를 모두 구했습니다. 결국 직사각형 $\mathrm{DEFG}$의 넓이는 $f(\mathrm{E} \text{의 } x\text{좌표}) \times dx$가 됩니다.

다시, 아래 그려진 직사각형들의 넓이의 합을 구하겠습니다. 계산 을 위해 꼭지점과 직사각형을 다음과 같이 이름 붙였습니다.

(그래프 그림: 함수 그래프 아래 영역을 4개의 세로 직사각형 구간으로 나눈 그림. $x$축 위 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}_2$, $\mathrm{E}_3$, $\mathrm{E}_4$, $\mathrm{B}$ 가 있고, 각각 높이를 나타내는 점 $\mathrm{D}_2$, $\mathrm{D}_3$, $\mathrm{D}_4$, $\mathrm{C}$ 가 표시되어 있다. 두 번째부터 네 번째까지의 직사각형 넓이가 기호 $\mathrm{S}_2$, $\mathrm{S}_3$, $\mathrm{S}_4$ 로 적혀 있다.)

규칙 ① 4개의 직사각형을 왼쪽부터 차례로 $\mathrm{S}_1$, $\mathrm{S}_2$, $\mathrm{S}_3$, $\mathrm{S}_4$로 두었습니 다. 그림에서 $\mathrm{S}_1$은 나타나지 않습니다. 세로의 길이가 0이기 때 문인데요, 칠하려는 순간 벌써 빗변과 만났기 때문에 칠할 수 없었던 것입니다.



규칙 ② 함수의 그래프(여기서는 빗변 $\mathrm{AC}$입니다)와 직사각형이 만나는 점을 왼쪽부터 차례로 $\mathrm{D}_1$, $\mathrm{D}_2$, $\mathrm{D}_3$, $\mathrm{D}_4$라고 두었습니다. 그림에서 $\mathrm{D}_1$ 이 없는 이유는 가장 작은 직사각형이 나타나지 않아서입니다. 따라서 $\mathrm{A}=\mathrm{D}_1$ 이 됩니다.

규칙 ③ $x$축과 직사각형이 만나는 점을 왼쪽부터 차례로 $\mathrm{E}_1$, $\mathrm{E}_2$, $\mathrm{E}_3$, $\mathrm{E}_4$라 고 두었습니다. 그림에서 $\mathrm{E}_1$ 이 없는 이유는 가장 작은 직사각형이 나타나지 않아서입니다. 역시 $\mathrm{A}=\mathrm{E}_1$ 이 됩니다.

규칙 ④ $\mathrm{E}_1$ 의 $x$좌표를 $x_1$, $\mathrm{E}_2$의 $x$좌표를 $x_2$라고 하겠습니다. 아래쪽에 덧 붙인 첨자로 기호를 구분하여 $\mathrm{E}_3$의 $x$좌표는 $x_3$, $\mathrm{E}_4$의 $x$좌표는 $x_4$ 입니다.

이들 직사각형들의 넓이를 모두 더해 봅시다. 식이 길어지지만 계 속 비슷한 형태가 반복되니까 이해하는 데 어려움은 없습니다. 편의 상 왼쪽 직사각형의 넓이부터 차례로 적었습니다.

직사각형들의 넓이의 합 $= f(\mathrm{E}_1\text{의 } x\text{좌표}) \times dx + f(\mathrm{E}_2\text{의 } x\text{좌표}) \times dx + f(\mathrm{E}_3\text{의 } x\text{좌표}) \times dx + f(\mathrm{E}_4\text{의 } x\text{좌표}) \times dx$



그런데 계속 비슷한 형태가 반복되고 있습니다. 반복되는 문장 ‘$\square$ 의 $x$좌표’ 를 간단하게 쓰려고 기호를 도입해 보겠습니다. 위의 규칙 ④를 이용해서 간단히 나타내 볼까요? 점점 기호가 많아지는데요, 정상이 얼마 남지 않았으니 조금만 힘을$\cdots\cdots$.

사실상 기호의 생명은 단순함과 효율성입니다. 본연의 모습과는 점점 멀어지지만 대신에 효율성과 단순함을 얻습니다.

결국, 직사각형들의 넓이의 합은 ‘$f(x_\square) \times dx$’ 들의 합이네요.

직사각형들의 넓이의 합 $= f(x_1) \times dx + f(x_2) \times dx + f(x_3) \times dx + f(x_4) \times dx$

자, 계산은 여기서 멈추겠습니다. 실제 우리는 $x_\square$의 값과 $dx$의 값 을 모두 구할 수 있습니다. 하지만 직접 구하지는 않겠습니다. 직접 값을 구하지 않았지만 직사각형들의 넓이의 합이 어떤 모양으로 도 출되는지를 알았기 때문에 바로 응용할 수 있습니다.

만약, 삼각형의 가로를 100등분하면 100개의 직사각형들의 넓이 의 합은 다음과 같습니다.



$f(x_1) \times dx + f(x_2) \times dx + f(x_3) \times dx + \cdots + f(x_{100}) \times dx$

여기서 $x_\square$의 규칙은 위에서 했던 것과 동일합니다.

역시 직사각형들의 넓이의 합은 $f(x_\square) \times dx$들의 합입니다. 하지만 그 합은 4등분했을 때보다 직각삼각형의 넓이에 훨씬 더 가까워집니 다. 이는 굳이 계산하지 않아도 이전 수업 시간에 확인했습니다.

그런데 직사각형들의 넓이의 합으로 직각삼각형의 넓이를 구하기 위해서는 반드시 가로의 길이를 한없이 작게 만들어야 합니다. 즉, $dx$의 값을 한없이 작게 만들어야 합니다. 반대로 직사각형의 개수는 한없이 많아져서 셀 수도 없을 것입니다.

하지만 우리는 직사각형들의 넓이의 합을 다음과 같이 적을 수 있습니다. $f(x_1) \times dx + f(x_2) \times dx + f(x_3) \times dx + \cdots + f(x_{100}) \times dx + \cdots + f(x_{1000}) \times dx + \cdots$

어쨌든 직사각형들의 넓이의 합은 $f(x_\square) \times dx$들의 무한합입니다. 단지 더하는 것의 개수가 많을 뿐이지요.

수학자들은 이렇게 생각합니다.

직각삼각형의 넓이 $=$ 직각삼각형의 가로의 길이를 0에 가깝도록 작게 만든 직사각형



(만화 그림: 4컷 만화. 1컷: 한 남성이 “삼각형의 넓이는 ‘밑변 $\times$ 높이 $\times \frac{1}{2}$’ 로 쉽게 구할 수 있잖아요.” 라고 말한다. 2컷: 선생님이 “네, 맞아요.” 라고 대답한다. 3컷: 남성이 의아해하며 “그런데 왜 이렇게 어려운 방법으로 넓이를 구하는 거죠?” 라고 질문한다. 4컷: 선생님이 복잡한 곡선 도형을 보여주며 “그럼 이런 도형의 넓이는 어떻게 구할까요?” 하자 도형이 “구해볼테면 구해 봐!!” 라며 약올린다. 선생님은 “이렇게 공식으로 만들어 내기 힘든 도형의 넓이를 쉽게 구하기 위해 적분을 이용하면 됩니다.” 라고 설명한다.)

들의 넓이의 합 $= f(x_1) \times dx + f(x_2) \times dx + \cdots + f(x_{100}) \times dx + \cdots + f(x_{1000}) \times dx + \cdots$

$= f(x_\square) \times dx$ 들의 무한합

이때 $x_\square$의 값은 0에서 1 사이의 간격을 무수히 많이 등분한 점들 의 $x$좌표



수학자들은 $f(x_\square) \times dx$들의 무한합에 의미를 부여해 다음과 같이 직각삼각형의 넓이를 나타내는 기호를 만듭니다.

① $f(x_\square) \times dx$는 아래쪽 첨자와 곱셈 기호를 없애고 $f(x)dx$로 나타내자.

② 합은 영어로 $\text{Sum}$이므로 머리글자 ‘S’를 연상케 하는 기호를 쓰자. 그 런데 무수히 많은 수를 합하는 것이므로 위아래로 늘인 기호 $\int$로 $\text{Sum}$을 나타내자.

③ $x_\square$가 존재하는 간격을 기호 $\int$의 위아래쪽 첨자로 나타내자. 간격이 시작되는 점을 아래쪽 첨자로, 끝나는 점을 위쪽 첨자로 쓰자.

직각삼각형에서 함수 $f(x)=2x$입니다. 그리고 $x$값들의 간격은 0에 서 1사이입니다.

드디어 기호가 만들어졌습니다. 이름 하여 ‘적분 기호’입니다. 밑변 1, 높이 2인 직각삼각형의 넓이를 적분 기호로 나타내면 다음과 같습니다.

$\int_0^1 (2x)dx$



(그래프 그림: 좌표평면 위에 함수 $y=2x$ 의 그래프가 원점을 지나 그려져 있다. $x$축 상의 0부터 1까지의 구간에서 사선으로 빗금 친 삼각형 모양의 넓이가 표시되어 있고, 이 넓이를 지칭하여 $S=\int_0^1 (2x)dx$ 라고 적혀 있다.)

따라서 $\int_0^1 (2x)dx=1$입니다. 직각삼각형의 넓이는 1이니까요. 이 처럼 적분값은 수로 나타낼 수 있습니다. 하지만 적분값을 우리가 이 미 넓이를 알고 있는 것만 구할 수 있는 건 아닙니다. 언젠가 적분값 을 구하는 공식이 있다고 잠시 언급했는데, 그 공식에 의해서도 1이 라는 답을 얻을 수 있습니다. 하지만 그 공식을 적용해 답을 구하려 면 이 수업만큼이나 긴 시간이 필요합니다. 그래도 앞으로 남은 수업 을 원활하게 하기 위해 약간의 설명을 하겠습니다.

직선을 그래프로 갖는 함수를 식으로 나타내면 $y=\square x+\triangle$의 꼴 입니다. 이때 $\triangle$와 $\square$는 조건에 맞는 적당한 수가 들어가는 자리입 니다.



(만화 그림: 길게 늘어진 ‘$\int$’ 기호 캐릭터가 지휘봉을 들고 “차례대로 모여!” 라고 외치고 있다. 그 옆에는 숫자 ‘1’ 모양의 캐릭터가 윙크를 하고 있고, 한 학생이 복잡한 $y=x$ 그래프와 수식이 적힌 칠판을 보며 “으아~ 너무 어려워…” 라며 눈물을 흘리고 있다. 아래에는 기호 ‘$x$’ 와 ‘$dx$’ 들이 마치 토끼처럼 “깡총 깡총” 뛰어다니는 모습이 익살스럽게 그려져 있다.)

다음은 $f(x)=\square x+\triangle$일 때, 그리고 $x$값이 $a$에서 $b$까지로 주어질 때 의 적분값입니다.

$\int_a^b (\square x + \triangle)dx = \square \times \frac{1}{2} \times (b^2 - a^2) + \triangle (b - a)$



(그래프 그림: 첫 번째 그림은 함수 $y=\square x+\triangle$ 의 그래프에서 $x$가 $a$에서 $b$까지인 구간의 사다리꼴 넓이를 빗금으로 표시하고 있으며, 이 영역에 $\int_a^b f(x)dx$ 라고 표기되어 있다.)

예를 들어, $\int_1^3 (2x+1)dx = \frac{1}{2} \times 2 \times (3^2 - 1^2) + 1 \times (3 - 1) = 8 + 2 = 10$ 입니다. 이것은 아래 그림에서 빗금 친 부분의 넓이입니다. 사다리꼴

(그래프 그림: 두 번째 그림은 좌표평면 위에 함수 $y=2x+1$ 의 실제 그래프가 그려져 있다. $y$절편 위치가 1이며, $x=1$부터 $x=3$까지 구간에 빗금이 쳐져 있다. 빗금 친 부분은 윗변 길이 3($f(1)=3$), 아랫변 길이 7($f(3)=7$), 높이 2($3-1=2$)인 사다리꼴의 형태를 보이고 있다.)



의 넓이 공식으로도 10을 얻습니다. 한번 해 보세요.

네 번째 긴 수업 시간이 끝나 가네요. 다시 한번 정리하겠습니다. $\int_a^b f(x)dx$란, 아래의 그림에서 4개의 직선 혹은 곡선이 만들어 내는 영역의 넓이입니다. 이들은 하늘에서 갑자기 떨어진 생소한 것이 아니 라 적분기호 속에서 도출되어 확실히 현실에 존재하는 것들입니다. 적 분 기호 속의 기호가 의미하는 곡선 혹은 직선들은 다음과 같습니다.

① $f(x) \Rightarrow y=f(x)$의 그래프 ② $dx$의 $x \Rightarrow x$축 ③ $a \Rightarrow x$축 위의 점 $(a,0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선 ④ $b \Rightarrow x$축 위의 점 $(b,0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선

(그래프 그림: 좌표평면 위에 곡선 $y=f(x)$ 가 있고, $x$축과 두 직선 $x=a$, $x=b$ 로 둘러싸인 영역에 사선으로 빗금이 쳐져 있다. 이 영역 가운데에 $\int_a^b f(x)dx$ 라는 적분 기호가 적혀 있어, 해당 넓이가 정적분의 값임을 나타내고 있다.)



또한 다음처럼 생긴 도형의 넓이도 적분 기호로 표현할 수 있습니다.

(그래프 그림: 좌표평면의 제1사분면에 땅콩 모양처럼 생긴 임의의 닫힌 곡선 도형이 그려져 있고 사선으로 빗금 쳐져 있다. 도형의 가장 왼쪽 끝 점 부근에 $\mathrm{P}$, 가장 오른쪽 끝 점 부근에 $\mathrm{Q}$ 가 표시되어 있다.)

위의 도형에서 가장 작은 $x$좌표를 갖는 점을 $\mathrm{P}$라고 하고, 가장 큰 $x$좌표를 갖는 점을 $\mathrm{Q}$라고 합시다. 그리고 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 $x$축에 수선 을 긋습니다. 이때 두 수선이 만나는 점을 각각 $a, b$라고 합시다. 그 다음 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위쪽에 위치한 곡선을 $y=f(x)$라는 함수식으로 표현 하고, 아래쪽에 위치한 곡선을 $y=g(x)$라고 한다면, 위에 주어진 도 형을 아래처럼 정리할 수 있습니다.

(그래프 그림: 위의 도형을 수학적으로 분석하기 위해, 도형의 위쪽 경계 곡선을 $y=f(x)$, 아래쪽 경계 곡선을 $y=g(x)$ 로 나타내었다. 그리고 극한점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $a$와 $b$로 표시하여 닫힌 구간 $[a, b]$ 를 나타냈다.)



빗금 친 도형의 넓이는 어떻게 구할까요? 위의 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이에서 아래의 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 빼면 되 지 않을까요? 이제 도형의 넓이를 구할 수 있는 일반화된 시도가 완 성되었습니다.

빗금 친 도형의 넓이 $= \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx$

(만화 그림: 3컷 만화. 1컷: 독특한 모양의 닫힌 곡선 캐릭터가 “내 넓이를 구하고 싶어?” 라며 묻고 있다. 2컷: 캐릭터의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝에 세로 수직선이 그어지며, “자 이렇게 선을 긋고$\cdots$” 라는 대사가 나온다. 3컷: 위쪽 곡선이 이루는 전체 넓이에서 아래쪽 곡선이 이루는 하얀색 넓이 영역(종이를 찢어내는 듯한 연출)을 빼는 모습을 보여주며, “이 부분을 빼면! 넓이가 나오지 ^^” 라고 말한다.)



네 번째 수업 정리

$\int_a^b f(x)dx$란, 아래의 그림에서 $4$개의 직선 혹은 곡선이 만들어 내는 영역의 넓이입니다. 이들은 하늘에서 갑자기 떨어진 생소한 것이 아니 라 적분 기호 속에서 도출되어 확실히 현실에 존재하는 것들입니다. 적분 기호 속의 기호가 의미하는 곡선 혹은 직선들은 다음과 같습니다.

① $f(x) \Rightarrow y=f(x)$의 그래프 ② $dx$의 $x \Rightarrow x$축 ③ $a \Rightarrow x$축 위의 점 $(a,0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선 ④ $b \Rightarrow x$축 위의 점 $(b,0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선

(그래프 그림: 좌표평면 위에 곡선 $y=f(x)$ 가 있고, $x$축과 두 직선 $x=a$, $x=b$ 로 둘러싸인 영역에 사선으로 빗금이 쳐져 있다. 앞서 확인했던 $\int_a^b f(x)dx$ 의 기하학적 의미를 보여주는 그래프가 다시 한 번 그려져 있다.)

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