다섯 번째 수업

$dx$의 딜레마

더하는 것은 선분인가 직사각형인가?

(그림: 다섯 번째 수업을 알리는 큰 숫자 ‘5’, 기하학 무늬가 그려진 도마뱀 캐릭터 한 마리, 그리고 적분 기호 인테그랄 기호 형태의 캐릭터가 그려져 있다.)

제가 타일 모양을 보고 무엇을 알아낸 것일까요? 도대체 무엇을 알아냈기에 창피함도 무릅쓰고 남의 담장에 기대어 눈물을 흘리며 큰 소리를 지르고 사흘 밤낮 동안 큰 잔치를 벌인 걸까요?

다섯 번째 학습 목표

최초 적분의 아이디어에서 등장하는 여러 문제점과 수학자들의 고민들을 소개하고 이를 극복하는 과정을 살펴봅니다.

미리 알면 좋아요

타원: 두 점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들을 이은 도형을 말합니다.
닮음: 모양을 바꾸지 않고 확대 또는 축소한 도형 사이의 관계를 말합니다. 일반 적으로 어떤 도형을 일정 비율로 확대 또는 축소한 도형을 서로 닮음이라고 합니 다. 이때 확대 또는 축소하는 데 사용한 일정 비율을 ‘닮음비’라고 합니다.
닮음의 응용: 두 닮은 도형의 닮음비가 $a:b$이면 두 도형의 넓이의 비는 $a^2:b^2$입 니다.
중점 연결 정리: 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 $\frac{1}{2}$ 입니다.

리만이 다섯 번째 수업을 시작했다

두 번째 수업 시간에 원의 넓이를 구하는 과정에서 품었던 의문이 있었지요? 그중 ‘둘째’ 의문을 다시 살펴보겠습니다.

둘째, 무한히 많은 꼭짓점을 가진 정다각형을 조각내서 만든 평행 사변형이 직사각형으로 변신하려면 삼각형이 더 이상 세 각을 가지는 도형이라는 삼각형의 본질을 잃어버리는 결과가 되고 만다. 그러면

한 각의 크기가 $0^\circ$가 되어야 하는데, 이 경우 삼각형이 아니라 선분이 라고 봐야 하기 때문이다. 선분의 넓이는 0이라고 배웠는데 어떻게 0 인 넓이를 갖는 선분을 더해 넓이가 있는 직사각형이 되는지 의문이 다. 0을 아무리 무한 번 더해도 그 값은 역시 0이 아닌가? 우리가 배 우고 있는 덧셈은 무한 번 더하는 행위에서는 성립하지 않는 것인가?

네, 너무나 자연스러운 질문입니다. 이런 의문이 자연스럽게 여겨 지지 않는다면 애초에 적분을 알고 있던 영재이거나, 아니면 책이나 교과서에 적혀 있는 내용은 모두 참이라고 믿는 순진한 학생일 것입 니다. 책은 가끔 거짓말을 합니다. 아니, 정확히 말하면 내용 전달을 위해 약간 각색할 때가 있답니다. 그러니 책을 볼 때도, 선생님의 강 의를 들을 때도 항상 집중해서 다른 상황에서도 그 내용이 참이 될 수 있는가를 의심해 보세요. 그리고 참이라는 확신은 증명이라는 약 간은 어려운 과정을 통해 얻으세요. 증명이 됐다면 밀어붙이세요. 그 렇다고 선생님이 칠판에 쓰는 덧셈 계산이 언제 틀리는지 두고 보자 는 식이면 곤란하고요.

네 번째 수업 시간에도 잠깐 언급했지만, 이 질문은 해결하기가 까 다로웠습니다. $\int f(x)dx$를 창안한 수학자 뉴턴이나 라이프니츠의 수

학 실력과는 무관하게 당시의 수학 지식으로는 해결할 수 없었기 때 문입니다. 이 의문에 대한 답을 얻으려고 수학자들은 200년 동안이 나 고심에 고심을 거듭하고, 수많은 시행착오를 겪게 됩니다. 그렇기 에 그 내용 또한 심오합니다. 어쩌면 여러분이 이해하기 힘들 수도 있겠네요.

시간을 거슬러 올라가서 아르키메데스의 작업실로 이동합니다. 본래 선분은 두께가 없기 때문에 넓이를 갖지 않습니다. 선분의 넓 이가 0이라는 사실은 증명하지 않는 대전제, 수학 용어로 공리라고 합니다. 밑변이 0인 삼각형은 존재하지 않습니다. 밑변이 0이면 두 대변이 하나로 만나고, 각 또한 $0^\circ$가 되기 때문에 더 이상 삼각형이 아닙니다. 삼각형의 성질들, 이를테면 세 내각이 존재하고, 내부의 영역과 외부의 영역이 세 변에 의해 명확하게 구분되는 것들이 성립 하지 않습니다. 내부의 영역도 없기에 넓이도 없습니다. 굳이 삼각 형이고 싶다면 넓이가 0인 삼각형이라고나 할까요?

아르키메데스가 원의 넓이를 구할 때 사용한 조각 삼각형들은 결 국에는 넓이가 0인 삼각형이 됩니다. 그래야 원의 넓이가 되는 직사 각형을 만들 수 있거든요. 그도 이러한 약점을 잘 알고 있었을 것입 니다. 그래도 신기하게 원의 넓이를 구했지 않습니까? 넓이가 원과 같아지는 정다각형을 만드는 것이 더 중요했을 것입니다.

잠깐, 여기서 원의 넓이가 원주율 곱하기 반지름의 제곱이라는 걸 의심하는 건 아니겠죠? 이건 참입니다.

0을 무한히 많이 더한 결과 그 값이 0이 아닌 양수 원주율이 나왔었죠? 가 나오는 결론을 얻은 아르키메데스는 과연 어떤 생각이 들었을까 요? 잘못된 계산이라고 생각하고 내팽개쳤을까요? 아닙니다. 오히려 다른 도형의 넓이를 구하는 것으로 그 응용 범위를 확대시킵니다. 아르키메데스는 타원의 넓이 구하기에 도전합니다. 그것도 다각형 을 이용하지 않고 직접 선분을 이용해서요!

타원을 그리는 방법은 약간 까다롭습니다. 하지만 원의 양쪽에 같 은 힘을 주고 지그시 눌렀을 때의 모양을 생각하면 됩니다. 아래 도 형이 타원입니다.

(타원 그림: 타원이 그려져 있고, 중심점을 가로지르는 가로 선인 ‘장축’ 과 세로 선인 ‘단축’ 이 표시되어 있으며, ‘원의 중심’(타원의 중심)이 점으로 찍혀 있다.)

타원 또한 원처럼 중심이 있습니다. 그 대신 원의 반지름이 아니라 중 심에서 타원에 이르는 가장 짧은 선분과 가장 긴 선분을 만들 수 있습니 다. 이들을 각각 단축, 장축이라고 합니다. 참고로 장축과 단축의 길이 가 같은 두 타원은 같은 모양, 같은 크기를 갖습니다. 반지름을 알면 원 을 그릴 수 있듯이, 장축과 단축을 알면 타원을 그릴 수 있습니다. 자세 한 이야기는 《수학자가 들려주는 수학 이야기》 시리즈 《이차곡선 이야 기》에서 다룰 것입니다.

우리 주변에 있는 타원을 찾아볼까요? 선생님은 하나 알고 있는 게 있어요. 바로 지구가 태양을 공전할 때 지나가는 궤적이 타원이에요. 옛날 과학자들은 지구를 중심으로 태양과 다른 행성들이 원운동을 한 다고 했지요. 바로 ‘천동설’ 입니다. 그런데 코페르니쿠스가 최초로 태양이 중심에 있고 지구와 나머지 행성들이 태양 주위를 돈다는 ‘지 동설’ 을 주장하며 책을 통해 발표합니다. 발표 당시에는 많은 탄압이 있었지만, 결국 진리는 승리하는 법. 지동설이 설득력을 얻게 되었고 케플러라는 과학자가 행성들의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 발견합니다. 그리고 뉴턴이 지구가 태양을 타원 궤도로 공전하는 원 인을 수학적으로 증명합니다. 이때 사용한 수학 도구가 바로 미분과 적분이지요. 하지만 안타깝게도 우주에서 지구가 지나간 궤도를 볼

(만화: 천문학의 발전)

프톨레마이오스: 천동설 (지구를 중심으로 태양과 별은 돈다)

코페르니쿠스: 지동설 (지구는 태양의 주위를 돌고 있다. 태양 중심)

케플러: 지구는 동그랗게 태양 주위를 도는 게 아니라 타원을 그리며 돈다!

갈릴레이: 그래도 지구는 돌지!

뉴턴: 난 왜 지구가 태양 주위를 타원의 형태로 도는지 알아냈다고! (사과를 들고 있음)

수는 없습니다. 나중에 우주여행이 보편화되면 우주에서 초저속 카 메라로 지구가 공전하는 궤적을 직접 그릴 수 있을 때가 오겠지요?

반지름의 길이가 $a$인 원을 그려 봅시다. 그리고 단축의 길이가 $2a$ 이고, 장축의 길이는 $2b$인 타원을 그려 봅시다. 단, 두 도형을 서로

(타원과 원 그림: 반지름이 $a$인 원이 있고, 중심이 같은 원을 포함하는 장축이 $2b$, 단축이 $2a$인 타원이 그려져 있다. 수평 방향이 장축, 수직 방향이 단축으로 표시됨)

접하게 그립니다. 그러면 그림처럼 타원 속에 원이 위치하겠지요. 참 고로 $a$보다 $b$가 더 크며 그림에서 수평으로 그은 선이 장축입니다. 장축의 길이와 지름의 길이의 비는 $b:a$입니다.

이제 타원의 내부에 장축과 평행한 선분을 그어 보세요. 놀랍게도 이 선분의 길이와 원의 내부에 위치한 선분 조각의 길이의 비 또한 $b:a$입니다. 장축과 평행한 모든 선분이 이러한 비를 유지합니다.

(타원 내부에 원이 있는 그림. 장축에 평행하게 그어진 수평 선분이 있고 선분 위 교점 A, B, C 표시. AC는 중앙으로부터 타원 경계까지의 선분, AB는 원 경계까지의 선분. 중심은 O.)

이제 타원을 다 채울 때까지 그 내부에 무수히 많은 장축과 평행한 선분을 만들어 봅시다. 그 선분들을 모으면 타원이 되겠죠? 선분을 모아 만든 영역의 내부엔 원이 위치하고 있고, 모든 선분이 각각 자 신의 $\frac{a}{b}$ 배 길이만큼 원의 내부에 있습니다. 즉, $\text{AC : AB} = b:a$입니다. 따라서 타원의 넓이는 원의 넓이의 $\frac{b}{a}$ 배가 됩니다. 그런데 원의 넓 이가 $\pi \times a^2$이니까 타원의 넓이는 얼마가 될까요?

타원의 넓이

$\pi \times a^2 \times \frac{b}{a} = \pi \times a \times b$ 즉, $(\text{원주율}) \times \frac{1}{2}(\text{장축의 길이}) \times \frac{1}{2}(\text{단축의 길이})$입니다.

살펴보니, 타원의 넓이 공식에도 원주율이 들어 있네요. 부모의 유 전자를 형제자매가 공유하듯이 비슷한 모양의 원과 타원의 넓이 공 식에서도 원주율을 공유하는 건 어찌 보면 당연하게 느껴집니다. 어때요? 타원의 넓이를 구하는 과정이 이해가 되나요? 영희는 고 개를 갸우뚱하는군요. 그렇습니다. 사실상 이 과정에는 몇 가지 오류 가 있습니다. 선분을 모은다고 넓이를 갖는 평면도형이 되지는 않거 든요. 영희의 의심은 마땅합니다. 때문에 길이의 비를 이용하여 넓이 의 비를 이용하는 것 자체가 비약입니다. 하지만 답은 맞습니다. 신 기하죠? 왜일까요? 전 수업 시간에서 배운 직사각형 쌓기로 넓이 구 하기 계산에 도전해 본다면 그 이유를 쉽게 알 수 있습니다.

지금부터는 선분의 합으로 도형의 합을 만들 때 생길 수 있는 오류 를 살펴보겠습니다. 삼각형 ABC가 있습니다. 두 변 AB와 AC의 중점을 각각 M과 N이 라 놓습니다. 중점이란 어떤 선분을 똑같은 길이로 이등분하는 점입

니다. 아래 그림에서 보면 $\text{AM}=\text{MB}$가 됩니다. 또한 $\text{AN}=\text{NC}$입니다. 이 성질 때문에 두 삼각형 ABC와 AMN은 닮음비가 2:1인 닮은 삼각 형입니다.

(삼각형 ABC 그림. 빗변 AB의 점 M, 밑변 혹은 다른 변 AC의 점 N. 즉 두 변의 중점 M, N을 연결한 선분 MN을 그어 만들어진 작은 삼각형 AMN이 보인다.)

이 경우 두 삼각형의 넓이의 비는 $\Delta\text{ABC} : \Delta\text{AMN} = 4:1$입니다.

(만화: 주방에서 삼각형 모양의 빵을 자르는 모습. 말풍선 내용: “삼각형의 양변의 중점을 자르면 큰 삼각형은 작은 삼각형 넓이의 4배가 된다.”)

이제 꼭짓점 A에서 밑변 BC 위의 한 점 P를 잇는 선분을 긋습니 다. 그리고 MN과 만나는 점을 Q라고 놓습니다.

(삼각형 ABC 그림. M은 AB위의 점, N은 AC위의 점. MN 선분이 가로로 존재함. A에서 BC위의 한 점 P로 이은 선분 AP가 있고, 이것이 MN과 점 Q에서 만난다.)

그러면 $\text{AP}:\text{AQ}=2:1$이 됩니다. 게다가 삼각형 AMQ와 삼각형 ABP는 서로 닮은 삼각형입니다.

그런데 이 길이의 비는 점 P가 BC 위에 있기만 하다면 위치에 관 계없이 항상 같습니다. 그러면 아르키메데스처럼 점 A에서 BC 위에 내린 모든 선분을 모으면 삼각형 ABC라고 추측할 수 있습니다. 그런 데 그 선분의 길이와 삼각형 AMN과 겹치는 부분의 길이의 비는 전 체 길이의 꼭 반이 되니까 넓이 또한 반이 된다는 오류에 빠질 수 있 습니다.

(삼각형 ABC 그림. 꼭짓점 A에서 밑변 BC로 무수히 많은 선분들($\text{AP}$)을 그은 모습. 그 선분들이 중간의 가로 선분 MN과 만나는 점들을 $Q$로 표시. 선분의 모임으로 삼각형을 이룰 수 있는지 묘사)

모든 선분의 길이의 비가 2:1이므로 $\Delta\text{ABC} : \Delta\text{AMN} = 2:1$?

결국 아르키메데스가 했던 선분을 모아 넓이를 계산하는 방법은 오류가 있는 잘못된 방법이었습니다. 여러분은 이 같은 오류가 무엇 때문인지 알겠습니까? 아래의 그림과 같이 타원의 경우 선분을 직사각형으로 만들어도 직사각형의 비가 가로의 길이의 비와 똑같았지만, 삼각형의 경우에

(두 개의 작은 그림. 왼쪽: 타원을 가로로 여러 개의 직사각형 조각(혹은 띠)으로 나눈 그림. 어떤 직사각형 띠에는 빗금이 쳐져 있음. 장축 표시. 오른쪽: 삼각형 ABC를 여러 조각으로 나눈 유사한 그림. 밑변 B, C, 중간 변 M, N이 있고 A에서 내린 두 선분 $AP_1, AP_2$와 $MN$ 위 만나는 점 $Q_1, Q_2$로 만들어진 사다리꼴/직사각형 모양의 비교를 보여줌.)

는 그렇지 않습니다. 아무리 밑변을 작게 만들어도 그 값이 0이 아닌 한 큰 삼각형의 밑변은 작은 삼각형의 밑변보다 항상 2배 깁니다. 따 라서 넓이도 2배가 아니라 4배가 되는 거랍니다.

수업을 마치기 전에 배운 내용을 다시 정리하겠습니다. 밑변의 길이가 0인 삼각형, 가로의 길이가 0인 직사각형은 존재하 지 않습니다. 또한 선분을 모아서는 넓이가 있는 도형을 만들 수도 없습니다. 넓이가 없는 도형을 제아무리 모아도 여전히 넓이가 없는 건 마찬가지입니다. 즉, $0+0+0+\dots = 0$입니다.

(만화: 돋보기로 무언가를 관찰하는 사람. “0에 가까운 길이라는 건 0과는 달라요.” “아주 작지만 분명히 존재하는 수랍니다.” 옆에 0.0000001 등 작은 숫자들이 쓰여 있음.)

하지만 우리가 앞서 했던 작업은 어땠나요? 삼각형의 밑변, 직사각 형의 가로 모두 한없이 작게 만들어 0에 가깝도록 한다고 했지, 0이 라고는 하지 않았습니다. 어떤 값이 0이라는 것과 0에 한없이 가깝다 는 것은 엄연히 다른 의미입니다. 게다가 우리가 주목하는 값은 밑변과 가로가 아니라, 그것들이 0의 값으로 한없이 가까워질 때 그에 따라 변하는 삼각형, 직사각형들의 넓이의 합입니다. 넓이를 구하려는 우리의 목적을 위해 밑변과 가로 의 길이를 0에 가깝게 보낸 것 이상도 이하도 아닙니다. 목적을 위해 수단과 방법을 가리지 않는다면 선분을 모아 넓이가 있는 도형을 만 드는 오류를 범하는 결과가 됩니다.

다섯 번째 수업 정리

1 단축의 길이가 $a$, 장축의 길이가 $b$인 타원의 넓이 공식 $\text{원주율} \times \frac{1}{2} \times \text{장축의 길이} \times \frac{1}{2} \times \text{단축의 길이} \ = \pi \frac{1}{2} a \frac{1}{2} b$ (참고: 본문 등에서는 장축 2b, 단축 2a로 설정했으나 정리에서는 단축 a, 장축 b일 때 $\pi \times \frac{a}{2} \times \frac{b}{2}$로 표현된 부분이 있음)

2 적분 과정에서 행해지는 직사각형들의 넓이 합을 구할 때 직사각형 들의 가로는 결코 0이 아닙니다. 단지 0에 무한히 가까운 양수일 뿐 입니다. 적분값은 직사각형의 가로가 0에 무한히 가깝게 접근할 때, 그에 따라 변하는 삼각형, 직사각형들의 넓이의 합입니다.

(만화: 빵을 삼각형으로 자르고 있는 사람 모습. 144쪽에 나왔던 삽화와 동일)

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