6 여섯 번째 수업: 적분과 넓이
(만화: 뱀 모양의 캐릭터. 숫자 6을 감싸고 있고 땀을 흘림. 말풍선 안에는 당황하는 표정의 노란색 동그라미 캐릭터가 “숫자는 같은데 적분으로 구했더니 음의 부호가 앞에 붙어 있어요. 넓이는 음수가 되지 않는데 어떻게 된 거죠? 어떻게 넓이가 음수가 될 수 있는 거죠?”라고 말함)
여섯 번째 학습 목표
1 좌표평면 위에 그려진 도형의 위치에 따라 적분값이 넓이가 안 될 수도 있음을 이해합니다.
2 적분 공식을 적용해 적분값을 구해 봅니다.
미리 알면 좋아요
1 좌표평면 점에 고유 좌표값을 매길 수 있도록 한 평면
2 그래프 함수의 모든 값들을 좌표평면에 표시했을 때 만들어지는 직선 혹은 곡선
(그림: 롤러로 바닥을 칠하는 사람과 페인트통 그림. 삼각형 모양(일부분 칠해짐)도 있음)
리만이 여섯 번째 수업을 시작했다
지금까지 우리들은 적분값 $\int_a^b f(x)dx$의 의미를 이해하는 데 노력 을 기울였고, 그에 맞춰 수업을 진행했습니다.
적분값 $\int_a^b f(x)dx$를 네 개의 직선 혹은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓 이로 이해하는 데 수업의 초점이 맞춰졌습니다. 이번 수업에서는 저 를 찾아왔던 두 명의 친구가 털어놓은 고민을 여러분과 함께 해결하 는 것으로 시작할까 합니다.
한 명은 여러분의 친구일 수도 있겠네요. 막 적분이 넓이를 구하는 도구임을 배운 친구입니다. 그 친구가 사는 마을에는 큰 공원이 하나 있는데, 그 공원을 만든 건축가는 삼각형을 매우 좋아했는지 공원의 모 양이 아래처럼 생겼습니다.
(그림: 두 개의 직각삼각형이 한 점에서 만나는 모양. 위쪽 큰 삼각형은 ‘공원’, 아래쪽 작은 삼각형도 ‘공원’이라고 적혀있음. 직각 표시 포함.)
공원은 도로망이 만들어 낸 두 개의 직각삼각형 모양을 하고 있는 데, 한 지점이 서로 만나고 있습니다.
우리의 친구는 도로가 만나거나 꺾어지는 지점 사이의 거리를 오 른쪽 페이지의 그림처럼 구해 왔습니다. 그리고 가상하게도 공원의 넓이를 구해 보았다고 했습니다. 다음 그림은 도로를 선으로 그린 다 음 도로의 길이를 표시한 것입니다.
(그림: 두 직각삼각형이 점 B에서 만나는 그림. 큰 직각삼각형 ABE: 빗변은 점선 100m, 점 E 꼭짓점, 직각 A 꼭짓점. 선분 AB 길이는 50m로 표시됨. (AB 연장선 위에 점 B 존재) 작은 직각삼각형 BCD: 점 C 직각 꼭짓점, 점 D 꼭짓점, 점 B 한 꼭짓점. 선분 BC 길이는 25m로 표시됨. (A, B, C는 일직선 상에 있음))
각각의 선분 BD, CD, BE의 길이는 표시하지 않았더군요. 하지만 삼각형의 닮음을 알고 있다면 닮음비를 이용하여 모든 선분의 길이 를 구할 수 있습니다. 선분 CD의 길이는 $50\text{m}$입니다.
공원의 넓이는 두 삼각형 $\Delta\text{ABE}$와 $\Delta\text{BCD}$의 넓이의 합입니다. 두 삼각형은 직각삼각형이므로 넓이 공식을 이용하면, 공원의 넓이는 $\Delta\text{ABE} + \Delta\text{BCD} = (\frac{1}{2}\times100\times50)+(\frac{1}{2}\times50\times25)$ $= 2500 + 625 = 3125\text{m}^2$입니다.
그런데 이 친구는 최근에 선생님과 공부했던 적분을 떠올렸습니다. 적분을 이용해서 공원의 넓이를 구해 봐야겠다고 생각한 것이죠. 그래서 공원의 모양을 좌표평면에 그렸습니다. 그리고 꼭짓점 A를
원점에 오게 하고, 선분 AC를 $x$축 위에 올려놓았더니 아래의 그림처 럼 되었습니다. 점 C의 좌표는 25가 아니라 75라는 것도 놓치지 않 았군요.
(그림: 좌표평면. $x$축, $y$축. 원점에 점 A. $y$축 위 (0, 100) 위치에 점 E. $x$축 위 (50, 0) 위치에 점 B, (75, 0) 위치에 점 C. 점 E, B를 지나는 직선이 점 D까지 이어짐. 점 D의 $x$좌표는 75인 곳 아래에 위치함. 삼각형 ABE(빗금)와 삼각형 BCD(빗금)가 그려져 있음.)
함수 $y=f(x)$를 선분 ED로 두면 되겠다 싶은지 저에게 함수식이 무 언지 묻더군요. 그래서 $y=f(x)=-2x+100$이라고 가르쳐 주었습니다.
모든 준비를 끝낸 후 그 친구는 적분으로 계산하기 시작했습니다. 먼저 식을 쓰니 다음과 같습니다.
\[\int_0^{75} (-2x+100)dx\]기특하게도 $f(x)$가 일차식으로 주어질 때의 적분 공식을 잊지 않고 있네요.
계산한 결과는 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &\int_0^{75} (-2x+100)dx = \frac{1}{2}\times(-2)\times(75^2-0^2)+100\times(75-0) \\ &= -(75^2)+100\times75 = 1875\text{m}^2 \end{align*}\]두 값이 다르게 나오자 그 친구는 다시 계산을 해 보더군요. 하지 만 계산은 정확했고, 넓이가 곧 적분값이라고 믿고 있던 친구는 당황 하여 저에게 도움을 요청했습니다.
그래서 그 친구에게 적분을 이용해서 $\Delta\text{ABE}$의 넓이를 구해 보라 고 했습니다. 그랬더니 다음과 같이 계산하고는 넓이 공식으로 구했 던 값과 똑같다고 했습니다.
\[\begin{align*} &\int_0^{50} (-2x+100)dx = \frac{1}{2}\times(-2)\times(50^2-0^2)+100\times(50-0) \\ &= -2500+5000 = 2500\text{m}^2 \end{align*}\]저는 또 적분을 이용해서 $\Delta\text{BCD}$의 넓이도 구해 보라고 했습니다. 계산했더니 다음과 같았습니다.
\(\begin{align*} &\int_{50}^{75} (-2x+100)dx = \frac{1}{2}\times(-2)\times(75^2-50^2)+100\times(75-50) \\ &= -(5625-2500)+2500 = -625\text{m}^2 \end{align*}\)
“삼각형의 넓이 공식으로 구했던 것과 다른 값이 나왔어요.”
어떻게 다른가요?
“숫자는 같은데 적분을 이용해 구했더니 음의 부호가 앞에 붙어 있 어요. 넓이는 음수가 될 수 없는데 어떻게 된 거죠? 어떻게 넓이가 음 수가 될 수 있죠?”
자, 이 친구의 고민을 해결해 볼까요? 계산은 둘 다 맞습니다. 그리 고 답이 다르게 나오는 것도 당연합니다. 결론부터 말하자면 두 값이 다른 이유는 $\Delta\text{BCD}$의 넓이가 서로 다르기 때문인데요, 이는 $\Delta\text{BCD}$ 가 좌표평면의 $x$축 아래에 있기 때문입니다.
지금까지 도형을 좌표평면에 옮겼을 때, 넓이를 구하려는 도형의 위치는 말하지 않았지만 항상 $x$축의 위쪽이었습니다. 그리고 되도록 $y$축의 오른쪽에 위치하게 두었습니다. $x$축의 위쪽, $y$축의 오른쪽 부 분을 제1사분면이라 하는데요, 이곳에 위치한 좌표값은 $x$좌표, $y$좌 표 모두 양수라는 특징을 갖습니다.
(만화) 1컷: 설계도를 들고 있는 남자. “멋진 공원 설계도를 완성했다.” 2컷: 남자가 설계도로 공원 면적을 구하려 함. “디자인은 멋지게 나왔으니 공원의 면적을 구해 볼까? 적분을 이용하면 쉽지. 하하!” (설계도 안에는 삼각형 그림이 있음) 3컷: 남자가 놀라며 당황함. “으악! 귀신 공원이다. 아래쪽 공원의 넓이는 음수가 나왔어!” 4컷: 옆에 있던 다른 사람이 태연하게 조언함. “적분 기호 앞에 $-$를 붙이면 $+$가 되니까 걱정 마세요.” 남자는 얼빠진 표정으로 “응?” 함.
적분이 도형의 넓이를 구하는 도구라고 앞에서 얘기했는데요, 도 형의 한 경계가 되는 함수의 그래프가 $x$축의 아래에 위치할 경우에는 그렇지 않습니다.
적분값을 구하는 원리를 다시 살펴봅시다. 좌표평면에 도형을 옮 겨놓는데요, 도형을 $x$축 아래에 놓아 봅시다.
(그림: 좌표평면. $x$축 아래에 $a$부터 $b$까지 곡선 $y=f(x)$가 위치함. 구역이 직사각형으로 쪼개져 있고, 그중 하나의 직사각형(가로 폭 $dx$)이 빗금 쳐져 있음.)
적분은 도형을 작은 직사각형으로 쪼갠 후 그 넓이의 합을 구하는 것이라고 했습니다. 위의 그림에서 빗금 친 직사각형의 넓이는 어떻 게 표현될까요? 직사각형의 넓이는 세로 길이 곱하기 가로 길이이니 까 $f(x)\times dx$인 것 같지만, 아닙니다.
넓이는 양수입니다. 그런데 $f(x)$는 양수가 아니라 음수입니다. $x$축 아래에 있는 점의 $y$좌표값은 음수입니다. $f(x)$는 $x$의 함수값이고 그 그래프는 $x$축 아래에 있으므로 그래프 위의 점들은 모두 음의 $y$좌표값 을 갖게 됩니다.
따라서 빗금 친 직사각형의 넓이는 $-f(x)\times dx$입니다. 때문에 $f(x)dx$ 값들을 모은 적분값 $\int_a^b f(x)dx$는 도형의 넓이에 음의 부호 ‘$-$’를 붙인 값이 계산되었던 것입니다.
(만화) 왼쪽: 어떤 도형이 그려진 칠판 앞에서 고뇌하는 남자. 말풍선: “x축 아래에 있는 도형의 넓이를 적분으로 구하면 음수(-)값이 나와요!” 중앙: 누군가 말풍선으로 조언함. “어서 양수 쪽으로…” 오른쪽: 손가락을 들고 설명하는 남자. 말풍선: “하지만 넓이는 음수가 될 수 없으므로 양수로 바꿔서 계산해야 해요!”
그러면 적분을 응용해 $x$축 아래에 위치한 도형의 넓이를 구하려면 어떻게 해야 할까요? 적분값을 다시 양수로 만들어야 하니까 적분 기 호 앞에 ‘$-$’를 붙이면 됩니다.
\[-\int_{50}^{75} (-2x+100)dx = -(-625) = 625\text{m}^2\]자, 이제 고민이 해결됐나요?
(그림: 좌표평면. 곡선 $y=f(x)$가 $x$축 위아래를 가로지름. 원점 O를 지나 일정 구간 $x$축 위쪽에 도형 A가 있고 (시작점 수직선 $x=a$ 표시), 곡선이 $x$축을 뚫고 내려가 $x$축 아래쪽에 도형 B가 있음 (끝점 수직선 $x=b$ 표시). 넓이를 나타내는 문자 A, B가 각각 적혀 있음.)
정리하면, 다음 그림에서 A, B가 각각 두 도형의 넓이라 할 때, $\int_a^b f(x)dx = \text{A} + (\text{-B}) = \text{A} - \text{B}$입니다.
여섯 번째 수업 정리
1 좌표평면 위에 도형이 있는 지점이 $x$축 아래이면, 적분값은 음수 가 되므로 도형의 넓이가 될 수 없습니다. 이런 경우 적분값을 양 수로 만들어야 하니까 적분 기호나 음수의 적분값 앞에 ‘$-$’를 붙 이면 됩니다.
2 아래 그림에서 A, B가 각각 두 도형의 넓이라 할 때, $\int_a^b f(x)dx = \text{A} + (\text{-B}) = \text{A} - \text{B}$입니다.
(그림: 좌표평면. 앞 페이지와 동일한 그림. 곡선 $y=f(x)$가 $x$축과 교차함. 넓이 A 부분은 곡선이 $x$축 위에 있고, 넓이 B 부분은 수직선 $x=b$까지 곡선이 $x$축 아래에 있음. $x$축에 $a$, $b$가 표시되어 있음. (정확히는 $\int_a^b$를 표현하기 위한 그림))