변을 가능한 한 많이 등분하는 것이었습니다.

철수, 영희가 칠하여 얻은 직사각형들의 넓이 합을 차례대로 하합, 상합이라고 했는데요, 여기서 약간 문자식의 도움을 받을까요?

밑변을 $n$번 등분해서 얻은 하합과 상합을 각각 기호로 $L_n$, $U_n$이라 고 쓰겠습니다. 그럼 철수가 8번 등분해서 칠해 얻은 직사각형들의 넓이의 합은 기호로 $L_8$이 됩니다. 그리고 영희가 칠하여 얻은 직사각 형들의 넓이의 합은 기호로 $U_8$이 됩니다.

그런데 상합과 하합 사이에는 다음과 같은 꽤 재미있는 법칙이 있 더군요.

① 롤러의 두께가 작을수록 칠한 면, 즉 직사각형의 개수는 많아진다. 이 때 영희가 칠한 직사각형들의 넓이 합은 점점 작아지는 반면에 철수가 칠한 직사각형들의 넓이 합은 점점 커진다.

기호로 표현하면 $L_4 < L_8 < L_{16} < \cdots$이 되고, $U_4 > U_8 > U_{16} > \cdots$이다.

② 영희가 칠한 직사각형의 넓이는 철수가 칠한 직사각형의 넓이보다 항상 크다. 이는 롤러의 두께와 무관하게 항상 성립한다.

즉, $n$이 자연수일 때 항상 $L_n < U_n$이다.

③ 영희가 칠한 직사각형의 넓이와 철수가 칠한 직사각형의 넓이 사이에