$f(x_1) \times dx + f(x_2) \times dx + f(x_3) \times dx + \cdots + f(x_{100}) \times dx$

여기서 $x_\square$의 규칙은 위에서 했던 것과 동일합니다.

역시 직사각형들의 넓이의 합은 $f(x_\square) \times dx$들의 합입니다. 하지만 그 합은 4등분했을 때보다 직각삼각형의 넓이에 훨씬 더 가까워집니 다. 이는 굳이 계산하지 않아도 이전 수업 시간에 확인했습니다.

그런데 직사각형들의 넓이의 합으로 직각삼각형의 넓이를 구하기 위해서는 반드시 가로의 길이를 한없이 작게 만들어야 합니다. 즉, $dx$의 값을 한없이 작게 만들어야 합니다. 반대로 직사각형의 개수는 한없이 많아져서 셀 수도 없을 것입니다.

하지만 우리는 직사각형들의 넓이의 합을 다음과 같이 적을 수 있습니다. $f(x_1) \times dx + f(x_2) \times dx + f(x_3) \times dx + \cdots + f(x_{100}) \times dx + \cdots + f(x_{1000}) \times dx + \cdots$

어쨌든 직사각형들의 넓이의 합은 $f(x_\square) \times dx$들의 무한합입니다. 단지 더하는 것의 개수가 많을 뿐이지요.

수학자들은 이렇게 생각합니다.

직각삼각형의 넓이 $=$ 직각삼각형의 가로의 길이를 0에 가깝도록 작게 만든 직사각형