이제 꼭짓점 A에서 밑변 BC 위의 한 점 P를 잇는 선분을 긋습니 다. 그리고 MN과 만나는 점을 Q라고 놓습니다.

(삼각형 ABC 그림. M은 AB위의 점, N은 AC위의 점. MN 선분이 가로로 존재함. A에서 BC위의 한 점 P로 이은 선분 AP가 있고, 이것이 MN과 점 Q에서 만난다.)

그러면 $\text{AP}:\text{AQ}=2:1$이 됩니다. 게다가 삼각형 AMQ와 삼각형 ABP는 서로 닮은 삼각형입니다.

그런데 이 길이의 비는 점 P가 BC 위에 있기만 하다면 위치에 관 계없이 항상 같습니다. 그러면 아르키메데스처럼 점 A에서 BC 위에 내린 모든 선분을 모으면 삼각형 ABC라고 추측할 수 있습니다. 그런 데 그 선분의 길이와 삼각형 AMN과 겹치는 부분의 길이의 비는 전 체 길이의 꼭 반이 되니까 넓이 또한 반이 된다는 오류에 빠질 수 있 습니다.