00. 인트로: 스킬 트리를 융합하다 (Intro)

고등학교 수학 시간에 처음으로 ‘미적분학의 기본 정리(적분은 미분을 거꾸로 돌리는 것)’를 깨닫고 나면, 학생들은 드디어 악몽 같은 $N$만 개의 직사각형(리만 합) 계산을 찢어버려도 된다고 환호합니다. 적분 공식 몇 개만 치트키처럼 외우면 단 1초 만에 면적 값을 시원하게 뱉어주니까요!

1. 평면의 바닥을 박차고 날아오르다

하지만 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz) 같은 거인 머나먼 천재들의 시선은 단순히 $x$축 길바닥 1차원 선에 닿아 있는 흙바닥 넓이에만 머물지 않았습니다. 그들의 위대한 야망은 이러했습니다.

“바닥(x축)에 고정된 넓이만 구하는 건 초보나 하는 짓이다. 만약 두 개의 곡선이 허공에서 교차하며 날아다니고 있다면, 허공에 붕 뜬 저 두 지붕 곡선 사이의 신비한 영토(면적)는 어떻게 잴 것인가?”

나아가 그들의 시선은 종이장비(2D 평면)를 찢고 나와 현실 우주의 진정한 차원인 입체(3D)로까지 뻗어나갔습니다.

“면적 판때기를 구했다면, 그걸 $360$도 팽이처럼 빙글빙글 회전시켜보자! 그러면 도넛도 만들어지고 원뿔 스피커 모형도 만들어지겠지? 우리가 그 입체 덩어리를 다시 수만 장의 슬라이스 디스크 조각으로 얇게 썰어 적분해버리면, 우주상에 존재하는 모든 $3\text{D}$ 불규칙 입체 병균이나 행성들의 부피를 정확하게 계산해낼 수 있을 거야!!”

2. 미적분학의 심화 스킬트리

이 거대한 야망을 실현하기 위해, 적분학 파트 2(Integration 2)에서는 이전에 배웠던 $\int_a^b f(x)dx$ 라는 엑스칼리버 검을 가지고 더욱 현란한 기술(Skill)들을 구사하는 방법을 배웁니다. 이제 단순한 함수 기본 식만 적분하는 것이 아닙니다.

• 겉과 속을 한 꺼풀 벗겨 치환해 버리는 치환적분법 (Substitution)
• 절대 적분되지 않을 것 같은 지수와 삼각함수의 곱셈 괴물을 분리해 내는 부분적분법 (Integration by Parts)
• 심지어 목성 너머 무한대 극한의 블랙홀 우주 공간까지 영원히 이어지는 넓이를 포획하는 이상 적분 (Improper Integrals)

자, 이제 스케일이 달라진 진짜 미적분 전투가 펼쳐집니다. 함수 두 마리가 허공에 맞붙어 만들어내는 넓이 영토 배틀부터 당장 관전해 봅시다!