02. 두 번째 수업: 3D 프린터처럼 쌓아 올리는 입체의 부피 (Volumes)
우리는 이제 2D 평면 위에 그려진 면적을 구하는 것을 마스터했습니다. 그렇다면 이 종잇장 같은 2D 면적을 가지고 어떻게 3D 입체 도형의 부피(Volume)를 알아낼 수 있을까요?
미적분학이 3D 부피를 구하는 방식은 놀랍게도 현대의 $3\text{D}$ 프린터(3D Printer)가 물건을 찍어내는 방식과 소름 돋게 똑같습니다.
1. 무 썰기: 단면의 넓이를 차곡차곡 쌓다
커다란 무를 칼로 얇게 여러 번 썰어본 적이 있나요? 무 한 둥치는 3D 입체 덩어리지만, 칼로 얇게 썰어낸 무 한 조각(Slice)의 단면은 2D 원 모양의 얇은 원판(명함이나 CD 모양)에 불과합니다.
부피를 구하는 적분의 가장 기본적인 마인드가 바로 이것입니다. “어떤 불규칙한 $3\text{D}$ 입체 덩어리의 부피는, 그것을 아주아주 무한히 얇게 슬라이스 친 $2\text{D}$ 단면(Area) 조각들의 넓이를 전부 모아서 적분($\int$)해버리면 된다!”
단면(조각) 하나의 면적을 나타내는 공식을 $A(x)$ 라고 합시다. ($A$는 Area를 의미합니다). 그 단면의 두께는 눈에 보이지 않게 얇은 한 틱인 $dx$ 가 됩니다. 그렇다면 입체의 총 부피 $Volume(V)$ 공식은 다음과 같습니다.
\[V = \int_{a}^{b} A(x) dx\]이 공식 한 줄이 주는 프로그래밍적 논리는 단순합니다. “시작 지점($a$)부터 끝 지점($b$)까지 스캐너를 쫙 밀면서, 나오는 $2D$ 면적 픽셀 조각($A(x)$)들을 두께($dx$) 곱해서 하나도 빠짐없이 차곡차곡 $3D$ 리스트 메모리에 더해서 밀도 있게 누적하라($\int$)!”
2. 빙글빙글 돌려 만드는 도자기: 회전체의 부피 (Disc Method)
가장 흔하고 재밌는 부피 구하기 기술 중 하나는 ‘원판 방식(Disc Method)’ 입니다. 물레 위에서 돌아가는 진흙 도자기를 생각해 보세요. 옆에서 보면 물결치며 굴곡이 있는 $2D$ 곡선 모양이지만, 가운뎃기둥을 중심으로 빙글 회전하고 있기 때문에 완벽한 $3D$ 도자기 호리병이 됩니다.
수학에서도 똑같이 놉니다. $x$축을 바닥 삼아 어떤 함수 곡선 $f(x)$ 밑에 있는 치즈 조각(면적)을 통째로 잡고, $x$축 쇠꼬챙이를 중심으로 빙글 $360$도 (한 바퀴) 원형으로 회전시켜 버립니다. 그러면 그 치즈 조각이 회전하면서 아름다운 나팔 모양 혹은 팽이 모양의 입체 $3D$ 덩어리가 생성됩니다.
이 덩어리의 하나의 얇은 단면을 잘라보면, 무조건 완벽한 동그란 원통 동전(디스크) 모양이 나옵니다. 원래 선의 높이였던 $f(x)$ 가 이 동전의 ‘반지름($r$)’ 이 되는 것이죠.
- 원의 넓이 공식은? $\pi \times r^2$
- 그렇다면 이 단면의 넓이 $A(x)$ 는? $\pi \times (f(x))^2$
이제 이 단면 공식을 부피 시뮬레이터 $\int$ 에 집어넣기만 하면 됩니다!
\[V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx\]💡 파이썬 렌더링 마인드: 파이을 밖으로 빼고,
Total_V = math.pi * sum( (f(x)**2) * dx )이런 식으로 파이썬 루프를 10만 번만 돌려보세요. 컴퓨터가 기원전 아르키메데스가 평생을 바쳐 푼 구의 부피 공식을 단0.001초 만에 도출해 냅니다.
3. 부피 적분의 위력
만약 이 세상을 $x, y, z$ 좌표계의 3D 픽셀 박스인 체적소(Voxel)로 본다면, 부피 적분은 영화의 CG 특수효과나 건축 시뮬레이션에서 물의 용량, 자동차의 연비 최적화 디자인을 위한 공기 저항 면적 계산 등에 미친 듯이 활용됩니다.
선($1\text{D}$)에서 시작해 면($2\text{D}$)을 정복하고 입체($3\text{D}$)까지 공간을 자유자재로 다루게 된 적분의 파워. 물리 엔진에서 빼놓을 수 없는 핵심 파츠랍니다. 다음 장에서는 차원을 바꾸는 공간 사기극 수준을 넘어, 추상적인 개념인 ‘물리적 에너지(노동량 Work)’까지 적분으로 뽑아내는 기술을 배워봅시다.