03. 세 번째 수업: 물리학과 노동의 결실 (Work and Force)

적분을 넓이나 부피 같은 눈에 보이는 ‘공간의 크기’를 잴 때만 쓴다면 아쉽습니다. 눈에 보이지 않는 에너지, 즉 물리학에서 말하는 ‘일(Work)’ 을 계산할 때도 적분은 무적의 도구로 활약합니다.

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1. 일(Work) = 힘(Force) × 이동 거리(Distance)

물리학에서 에너지를 썼다(일을 했다)고 말하려면 두 가지 조건이 필요합니다.

1. 힘($F$, Force)을 주어서
2. 특정 거리($d$, Distance)만큼 물체를 이동시켰는가?

상자 박스를 밀고 바닥을 $5m$ 전진했다면, 사용한 힘(가령 10 뉴턴) × 5m = 50 줄(Joule) 이라는 일(노동)의 양이 계산됩니다. 아주 단순한 직사각형 넓이 구하는 공식(가로 $\times$ 세로) 과 완벽하게 똑같습니다! (가로축을 이동 거리, 세로축을 들어간 힘이라고 그리면 결국 그 사각형의 넓이가 내가 소비한 칼로리, 즉 에너지 총량입니다.)

2. 진짜 세상은 힘이 1초마다 변한다

직사각형 공식의 문제는 힘을 일정한 속도로 똑~같이 쭉 밀었을 때만 계산 가능하다는 것입니다. 현실 세계에서는 이런 일이 거의 없습니다.

• 로켓트가 우주로 쏘아 올려질 때: 연료가 타면서 점점 무게가 가벼워지기 때문에, 중력을 뚫고 올라가는 데 필요한 엑셀 파워(힘)가 매 순간 훅훅 바뀝니다.
• 용수철(스프링)을 쭈욱 잡아당길 때: 처음엔 쉽게 늘어나지만, 길게 당기면 당길수록 용수철이 팽팽해지면서 들어가는 악력(힘)이 훨씬 더 강력하게 요구됩니다.

이처럼 내가 물체를 이동 시킬 때 들어가는 힘 자체가 $x$(이동 거리)에 따라 오르락내리락 휙휙 변하는 함수 곡선 $F(x)$ 라면? 직사각형 면적 공식은 산산조각이 나고, 우리는 지체 없이 적분 $\int$ 기호를 호출해야 합니다.

\[W (총 노동량) = \int_{a}^{b} F(x) dx\]

3. 용수철 당기기: 훅의 법칙 (Hooke’s Law)

용수철을 억지로 당기는 물리 실험이 유명합니다. 용수철을 기본 상태에서 $x$ 길이만큼 늘일 때 필요한 힘은, 늘어난 길이에 정비례하여 힘들어집니다. 이를 훅의 법칙 $F(x) = k \cdot x$ ($k$는 용수철의 탄성 징그러움 정도를 나타내는 상수) 라고 합니다.

이 용수철을 $0cm$ 에서 폭발 직전인 $10cm$ 까지 잡아당길 때, 내 알통 근육이 소비한 총 에너지(일)는 얼마일까요?

• $W = \int_{0}^{10} k \cdot x \, dx$
• 속으로 $k \cdot x$ 의 역도함수(미분하기 전 식)를 생각합니다. $\rightarrow$ $\frac{1}{2} k x^2$
• $10$을 넣고 $0$을 넣어 뺍니다. $\rightarrow$ 에너지 $W = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 100$ Jules !

이렇게 어떤 힘이 아무리 변덕스럽게 움직이더라도, 곡선 아래의 “무한히 조각난 힘 데이터 쪼가리”들을 다 모아 에너지 총알 하나로 만들어주는 것. 우주 항공이나 기계 공학과에서 물리에 미적분을 필수 기초 프로그래밍 언어로 쓰는 이유입니다.