05. 다섯 번째 수업: 곱의 미분을 역설계하는 부분적분법 (By Parts)
이전 챕터에서 우리는 괄호 속에 기생하는 귀찮은 수식 벌레를 알파벳 $u$로 덮어쓰고 치환하여 쫓아내는 ‘치환적분’ 치트키를 배웠습니다. 그런데, 치환적분법이라는 무적의 마법조차 안 통하는, 아예 종류가 다른 두 마리의 이계도 함수가 어깨동무를 하고 곱해져 있는 최악의 스파게티 코드 괴물방정식이 등장하기도 합니다.
예를 들어, 다항함수 $x$ 와 지수함수 $e^x$ 가 합체한 $\int x \cdot e^x dx$ 같은 녀석 말이죠!
1. 끄집어낼 수 없는 두 우주의 충돌
$\int x e^x dx$ 를 아무리 째려봐도, $x$를 $u$ 로 덮어쓴다고 해서 옆에 붙어있는 거대한 화염구인 $e^x$ 가 사라질 리 없습니다. $e^x$ 를 $u$ 로 잡는다 쳐도, 미분해 봤자 그대로 자기 파편 $e^x$ 만 뱉어낼 뿐 옆에 달린 쓸데없는 불순물 알갱이 하나 $x$ 를 소거해 주지 않으니까요. 서로 종족이 완전히 달라서 “이름표 바꿔치기(치환)” 가 완벽하게 실패합니다.
이때 수학자들은 다시 옛날의 기억 더듬기(Reverse Engineering)를 시도합니다.
“잠깐… 이 두 함수가 곱해진 지저분한 꼬라지를 보니… 옛날에 미분 배울 때 두 함수가 나란히 곱해진 형태를 미분(곱의 미분법)할 때 엄청 길고 지저분하게 늘어지는 현상 이랑 비슷한데?”
네, 맞습니다! 부분적분법(Integration by Parts)은 곱의 미분 공식인 $(uv)’ = u’v + uv’$ 를 좌우로 이항해서 억지로 억지로 역설계(Reverse Engineering)하여 적분 공식으로 부수고 변형 시켜서 뽑아낸 스킬입니다.
2. 누가 미분팀이고, 누가 적분팀인가? (LIATE 법칙)
부분적분법 공식은 끔찍하게 생겼습니다. 무작정 외우려 들면 혈압이 오르죠. \(\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du\)
하지만 로직은 간단명료합니다. 곱해져 있는 끈질긴 두 함수 괴물 중:
- 한 놈은 미분해서 계급을 깎아 죽여버리기 쉬운 놈 ($u$ 팀 선택): 미분기를 돌릴수록 숫자가 깔끔하게 1로 사라지는 착한 다항함수 ($x$, $x^2$ 등)
- 다른 한 놈은 아무리 적분하고 구워삶아도 계속 원형을 유지하는비비탄 총알 탱커 놈 ($dv$ 팀 선택): 적분기를 돌려도 모양이 유지되는 지수함수 ($e^x$) 나 삼각함수 ($\sin$, $\cos$)
이 탱커와 물리 딜러를 구분하기 위해 영미권에서는 LIATE (로그 $\rightarrow$ 역삼각 $\rightarrow$ 다항 $\rightarrow$ 삼각 $\rightarrow$ 지수) 순서로 미분팀 딜러($u$) 포지션을 배정하라는 꿀팁까지 돌아다닐 정도입니다. 한국에서는 로다삼지 라고 배웁니다.
3. 알고리즘 실행: 파괴와 복구를 동시에
앞서 만났던 $\int x e^x dx$ 에 이 전투 로직을 알고리즘으로 대입해 봅시다.
- 우리의 다항식 $x$ 는 죽이기 쉬우니 미분 팀 딜러($u = x$)로 배정합니다.
- 우리의 탱커 지수함수 $e^x$ 는 맷집이 강하니 적분 탱커($dv = e^x dx$)로 배정합니다.
자, 딜러를 한 번 찔러서 죽여봅시다(미분 돌리기). $du = 1 dx$ (아싸! 짜증 났던 X라는 불순물이 깔끔한 숫자 1 로 정화되어 죽어버렸습니다.) 반대로 탱커를 한 번 부풀려 봅시다(적분 돌리기). $v = e^x$ (맷집 좋은 얘는 적분해봤자 똑같이 $e^x$ 입니다.)
이것들을 부분적분법 공식 배열($u \cdot v - \int v \cdot du$)에 그대로 꽂아 넣습니다. $\rightarrow (x \cdot e^x) - \int (e^x \cdot 1) dx$ $\rightarrow (x \cdot e^x) - e^x + C$ (해킹 성공!)
적분할 수 없던 곱셈 괴물이, 딜러(미분)와 탱커(적분)의 역할 분담이라는 부분 전술을 통해 아주 아름답게 $\int$ 족쇄 기호를 풀어버리고 해방되었습니다. 서로 관계없던 다항 함수와 초월 함수가 결합 된 데이터의 넓이는, 이 멋진 리팩토링 스킬 한방에 무너져 내립니다.