06. 여섯 번째 수업: 무한 우주의 끝까지 넓이 구하기 (Improper Integrals)

면적과 부피, 궤도 이동량까지 모두 구했습니다. 그런데 이제 철학적인 질문이 고개를 듭니다. 과연 인간은 이 3차원 우주 속에 갇혀버린 “무한대($\infty$)” 기호마저 셈으로 정밀 타격하여 측량할 수 있을까요?

1. 꼬리가 영원히 끝나지 않는 나팔 토네이도

이 미친 함수를 한 번 봅시다. $f(x) = \frac{1}{x^2}$

이 함수의 그래프를 $x=1$ 지점부터 쭈욱 그리면 우측 꼬리가 곡선을 크게 돌며 $x$ 축으로 폭포수처럼 떨어집니다. 하지만 수학적으로 영원히 $x$ 축 선과 닿지는 않고 기차 레일처럼 머리카락 사이 스치듯 아슬아슬하게 끝도 없이 우측 무한대 우주 공간 너머로 뻗어 나갑니다. (이것을 점근선이라고 불렀죠.)

이 우주 끝까지 펼쳐진 꼬리 곡선 밑바닥의 넓이를 “전부 청소기처럼 빨아들여 합치면($\int$)”, 그 넓이는 태양계보다 무지막지하게 클까요? 아니면 꼬리가 너무 극세사로 얇아져서 어떤 일정한 숫자 데이터 값으로 멈출까요?

\[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx\]

이처럼 구간 한구석에 겁도 없이 무한대 $\infty$ 를 떡 하니 집어넣고 적분하라는 괴상한 식을, 우리는 이상 적분 (Improper Integrals) 이라고 부릅니다. 직역하면 ‘비정상적이고 몹시 부적절한 적분’ 이라는 뜻이죠!

2. 한계선 극한(Limit) 방패를 치다

무한대는 숫자가 아니라, “지금 이 순간에도 계속 커지고 있는 가스 팽창 상태”를 의미하는 동사 상태 기호입니다. 따라서 우리는 냅다 적분 공식의 윗 구간 자리에 $\infty$ 기호를 때려박아 넣고 숫자 대입하듯 무식하게 통계산할 수 없습니다.

수학자들은 이 영구 팽창 폭발 코드를 안전하게 테스트하기 위해 매우 훌륭한 프로그래밍 샌드박스(Sandbox / 격리구역) 차단막 시스템 기법을 하나 동원합니다. 그것이 바로 한계선 벽, 극한(Limit) 기호의 호위 전술입니다.

  1. 먼저 우주 끝 $\infty$ 에 임시로 미지의 변수 벽 바리케이드 $t$ 라는 글자 푯말을 세워둡니다. $\int_1^{\mathbf{t}}$ (일단 우주 어딘가 지름 중간인 $t$까지만 안전하게 넓이를 구하라는 뜻입니다.)
  2. 이 정상적인 유한 적분을 계산을 편안히 마칩니다.
  3. 계산이 끝난 최종 결과 수식 덩어리에, 스위치를 딸깍 눌러서 “아까 박아뒀던 $t$ 바리케이드를 광속인 $\infty$ 방향으로 액셀러레이터를 밟아서 통과시켜라!” 하고 방아쇠($\lim_{t \to \infty}$)를 당기는 것입니다.

수식으로는 이렇게 표현됩니다. \(\lim_{t \to \infty} \left[ \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx \right]\)

3. 영원히 채워지지만 1 컵을 넘지 못한다.

자, 내부의 적분을 풀면 $\left[ -\frac{1}{x} \right]$ 이 나오고 1부터 $t$까지 넣으면 $1 - \frac{1}{t}$ 가 나옵니다. 이 안전하게 구워진 수식 빵 쪼가리에 리미트(극한 Limits) 방아쇠 로켓을 돌려봅니다!

$\lim_{t \to \infty} (1 - \frac{1}{t}) = ?$

분모 $t$ 가 우주 끝까지 커지니까, $\frac{1}{\text{무한대}}$ 는 아주 미세한 $0.0000000001 \dots$ 즉 숫자 $\mathbf{0}$ 에 가깝게 소멸 증발해 버립니다. 결국 넓이의 값은 아주 앙증맞고 귀엽게 딱 떨어지는 숫자 “1” 로 정답이 도출됩니다.

꼬리가 우주 저 끝 안드로메다은하까지 영원히 끝도 없이 길쭉하게 늘어나며 면적을 차지하고 있음에도 불구하고, 그 모든 걸 진공청소기처럼 긁어모아 압축한 총평수 면적의 합계는 달랑 딱 $1 (\text{One 단위})$ 밖에 되지 않는다니! 우주의 신비와도 같은 놀라운 미적분의 패러독스입니다.

이 놀라운 부피 계산 로직은 이 우주 공간에 꽉 차 있는 전자의 발견 ‘확률(Probability) 구름’ 을 확률 밀도 곡선 1.0 (즉 100% 한 개) 치환 면적 데이터로 스캔해 잡아낼 때, 현대 양자 역학 컴퓨터 과학에서 가장 아름답게 쓰이고 있습니다!

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